課程名稱︰線性代數一
課程性質︰數學系必修
課程教師︰翁秉仁
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2009日11月13日
考試時限：120分鐘
是否需發放獎勵金：是
試題 :
甲[25pt] 判斷下列敘述的對錯, 不論對錯皆請說明其原因, 字數不超過50字
(在下列八題中選出五題來回答, 若超過五題, 請標明選擇題號, 否則依序取前五題計分)
每題5分 共計25分
註：以下括號表矩陣
1. ┌0 1┐可以唯一表達成LDU的形式, 其中L為對角線為1的下三角矩陣, U為對角線為1
└0 1┘
的上三角矩陣, D為對角矩陣.
2. 若v1,v2,...,vk線性相關(linearly dependent), 則v1,v2線性相關.
3. A為 m x n 矩陣, B為 n x l 矩陣, 而且 AB = 0, 則C(B)>N(A).
4. 若A為n階矩陣, 則dim N(A) = dim N(A^T).
5. 若 V,W < R^n, V∩W = 0, dim V + dim W = n. 則任取u∈R^n, 都可以唯一的將
u 寫成 u_v + u_w 的形式, 其中u_v∈V, u_w∈W.
6. A 為 m x n 矩陣, 且 m > n, 則C(A)不可能等於R^m.
7. V < W, 且dim V = dim W , 則 V = W.
8. V = sp(t,t-1,...,t-k) < F, 則dim V = k + 1, 其中 F = {f(t)|f:R→R}
乙[75pt] 本類各題都必須回答, 每題15分, 共計75分.
┌ 1 -1 1 -1 ┐┌x1┐ ┌b1┐
｜ 1 1 1 1 ｜｜x2｜ ｜b2｜
1. 考慮方程組 AX = ｜ 1 -2 3 -4 ｜｜x3｜ = ｜b3｜
└ 1 0 3 -2 ┘└x4┘ └b4┘
a. 以special solutions來表示N(A)
b. 當[b1 b2 b3 b4] = [1 -9 2 -8]時, 求此方程組的一般解.
┌ 1 1 1 ┐
2. 想將 A = ｜ 1 λ 0 ｜ 表成唯一的LDU的形式, 其中L為對角線為1的下三角矩陣,
└ 1 0 0 ┘
U為對角線為1的上三角矩陣, D為對角矩陣.
a. 那一些λ值必須用到置換矩陣(permutation matrix) 才能做這樣的分解？
b. 當不需用到置換矩陣時, 求出此矩陣的LDU分解.
┌ 0 0 1 -2 ┐
3. 若 A = ｜ 1 -1 1 0 ｜, 用 Gauss-Jordan 消去法求A^-1, 其他方法不計分.
｜ 0 -1 1 -1 ｜
└ 1 1 0 1 ┘
┌2┐ ┌0┐ ┌3┐ ┌-1┐ ┌1┐ ┌6┐
4. 設 V = sp(｜1｜ ｜1｜ ｜1｜) , W = sp(｜ 1｜ ｜3｜ ｜2｜)
｜2｜ ｜0｜ ｜3｜ ｜ 0｜ ｜2｜ ｜4｜
└1┘ └1┘ └1┘ └ 1┘ └3┘ └2┘
a. 求dim V 與 dim W.
b. 找出一組 V∩W 的基底.
c. V + W 的維度是多少？
5. A為 m x n 矩陣, B為 n x l 矩陣
a. 證明 r(AB)≦ min (r(A),r(B))
b. 有可能 r(AB) < min(r(A),r(B))嗎？
c. 證明若 r(A) = n, 則r(AB) = r(B)
丙 本類最多可選一題回答, 若超過一題, 請標明所選題號, 否則以第一題計分.
┌1┐ ┌ 0┐ ┌ 2┐ ┌1┐
1. [5pt] 設 a1向量 = ｜1｜, a2向量 = ｜ 0｜, b1向量 = ｜ 2｜, b2向量 = ｜1｜,
｜4｜ ｜-6｜ ｜-1｜ ｜1｜
└3┘ └-4┘ └ 0┘ └1┘
2
,且已知sp(a1向量,a2向量) = sp(b1向量,b2向量). 令Σ βij * ai向量,
i=1
,求二階方陣[βij]
┌t t^2 t^3 t^4┐
2. [10pt] 若 A(t) = ｜t^2 t^3 t^4 t ｜, 描述函數 r(t) = rank(A(t))
｜t^3 t^4 t t^2｜
└t t^3 t^2 t^4┘
┌ 2 -1 0┐
3. [10pt] A = ｜-1 2 -1｜, 令V={B | B 滿足 AB=BA}, 其中B是三階方陣.
└ 0 -1 2┘
a. 證明V是三階方陣向量空間的子空間.
b. 求 dim V.
c. 找出 V的一組基底.
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