課程名稱︰線性代數二
課程性質︰數學系大一必修
課程教師︰翁秉仁
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2010年04月23日(五)，10:20-12:10
考試時限：110分鐘
是否需發放獎勵金：是
試題 :
線性代數期中考 2010/04/23
甲 [25pt] 判斷下列敘述的對錯, 不論對錯皆請說明其原因, 字數不超過50字.
（在下列十題中選出五題來回答, 若超過五題, 請標明選擇題號, 否則一律依序取所答
前五題計分. 每題5分, 共計25分.）
1. |R^n 上的平移是線性映射。
2. 線性映射將基底映到基底。
3. 可以找到線性映射T:|R^3→|R^5，而且im T = |R^5。
4. 若A = LDR，L為對角線為1的下三角矩陣，R為對角線為1的上三角矩陣，D=[d_ii]為對
角矩陣，且d_ii皆不為0，則所有固有值(eigenvalue)皆不為0。
5. 我們可以找到矩陣S，使得S^(-1)┌ 2 -1 ┐S = ┌ 2 1 ┐。
└ 5 -2 ┘ └ -1 0 ┘
6. 若n階方陣A之固有值為λ1,...,λn，則tr(A^k) = λ1^k + ... +λn^k。
7. 若A=A^T，u和v為兩固有向量(eigenvector)，且u≠c．v，則u⊥v。
8. exp(┌ ０ π ┐) + ┌ 1 0 ┐ = ┌ 0 0 ┐，其中exp(A)≡e^A。
└ π ０ ┘ └ 0 1 ┘ └ 0 0 ┘
9. 若A的固有值都是實數且彼此互異，則A=A^T。
10. 若Q為正交矩陣(orthogornal matrix)，則Q的固有值皆是為1的複數。
乙 [75pt] 本類1.至5.題都必須回答,3A與3B選一題做答，,共計75分.
┌ a_n ┐ ┌ 0.2 0.3 ┐┌ a_(n_1) ┐ ┌ a_0 ┐ ┌ 1 ┐
1. [15pt] └ b_n ┘ = └ 0.8 0.7 ┘└ b_(n-1) ┘，若起始條件為└ b_0 ┘=└ 0 ┘
，求lim ┌ a_n ┐。
n→∞ └ b_n ┘
2. [15pt]
┌ 0 0 0 1 ┐
a. [10pt] 求A = ｜ 0 0 1 0 ｜的固有值，並找出正交矩陣Q將A對角化。
｜ 0 1 0 0 ｜
└ 1 0 0 0 ┘
n
b. [5pt] 將A表成spectral decomposition theorem的形式（即 A = Σ λi*Pi，其中
i=1
Pi為正交投影方陣）。
3A.[15pt] 將二次曲線 3x^2 + 8xy - 3y^2 - 6x +2y = 0 標準化，描述該曲線的特徵（
例如長軸長、短軸長、中心等），並詳細寫出座標變換的過程。
3B. [15pt] 將二次曲面2xy + 2yz + 2zx + 1 = 0標準化，寫出座標變換的過程，說明其
為單葉雙曲面（hyperboloid of one sheet），並決定其腰部所截橢圓之長短軸。
＊3A與3B必須以線性代數方法做答
4. [15pt] 證明對稱矩陣一定可以用正交矩陣對角化，且其固有值皆為實數。
5. [15pt]
a. [10 pt] A為n皆方陣，若ker A ∩ im A≠{0}, 證明A 不能對角化（即找不到S，使
得S^(-1)AS為對角方陣）。
┌ 2 1 0 0 ┐
b. [5 pt] ｜ 0 2 1 0 ｜可以對角化嗎？
｜ 0 0 2 1 ｜
└ 0 0 0 2 ┘
丙 最多可選一題回答, 若超過一題,請標明所選題號, 否則以所答第一題計分.
┌ 1 2 3 4 ┐
1. [5pt] 若線性映射T:V→V，用V基底v1,v2,v3,v4的表示為｜ 2 3 4 5 ｜，則
｜ 3 4 5 6 ｜
└ 4 5 6 7 ┘
T用基底v2,v1,v4,v3的表示矩陣為何？
2. [10pt] 若α>1，證明x + α．z = 1與圓錐x^2 + y^2 - z^2 = 0 相交曲線為一橢圓，
並求其長軸與短軸長度。
┌ -2 1 0 1 ┐
3. [10pt] 求對稱矩陣A = ｜ 1 -2 1 0 ｜的所有固有值與固有向量。
｜ 0 1 -2 1 ｜
└ 1 0 1 -2 ┘
（提示：這是週期函數上f→f''的離散化）
4. [6pt] 對任何X≠0∈|R^n，A為n皆方陣且A=A^T 定義Raleigh Quotient為：
R(X) = (X^T)AX/(X^T)X
(a) [1pt] 證明R(c．X) = R(X)，∀c≠0∈|R。
(b) [5pt] 若A之固有值λ1≧λ2≧…≧λn，證明λ1 = max R(X) 且 λn = min R(X)
X≠0 X≠0
5. [10 pt] 若u,v為|R^n中兩單位向量。令T_u, T_v各表示以u^⊥, v^⊥為鏡面之鏡射。
若已知T_u ．T_v = T_v ． T_u，證明T_u = T_v 或 u ⊥ v。
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