課程名稱︰線性代數二
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳俊全
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2005年04月07日，13:20至15:10
考試時限：110分鐘
試題 :
┌ -1 3 1 ┐
│ │
1. 令 Ａ=│ 0 2 1 │
│ │
└ -3 4 2 ┘
(1) 找出 Ａ 之 eigenvalues 及 matrix Ｃ 使 Ｃ^(-1)ＡＣ 為 diagonal。
→ → → → ＿ →
(2) 假設 x εＲ^3，lim Ａ^k x = y 存在，且║y║= 2√3 ，求 x 。
k→∞
Av0 = 0, Av1 = 1
2. 令｛ 3 ，用矩陣的方法求 Avk 之公式。
Av(k+2) = Av(k+1) + ── Avk, k≧0
4
3. 令 Α 為 nxn matrix，f(x) 為多項式。
(1) 試證 Α^T 和 Α 有相同之 eigenvalues。
(2) 證若λ為 Α 之 eigenvalue，則 f(λ) 為 f(Α) 之 eigenvalue。
(3) 若 7 為 f(Α) 之 eigenvalue，試證有 Α 之 eigenvalue λ滿足 f(λ) = 7。
4. 令 W =｛[x,y,z]εＲ^3│3x + y + 2z = 0｝
(1) 試求出 Ｒ^3 對 W 的 projection matrix (為 3 ×3 matrix)。
→ → →
(2) 求 W 上之一點 u ，使║u - [1,1,3]║最小，即║u - [1,1,3]║
→ →
= min║w - [1,1,3]║，w εW。
5. W 為 Ｒ^n 之 subspace，W^⊥ 為其 orthogonal complement。試證
(1) dim(W^⊥) = n - dim(W)
→ → →
(2) 對任何 b εＲ^n，存在唯一 bv(w) εW 及 bv(w^⊥) εW^⊥ 使
→ → →
b = bv(w) + bv(w^⊥)。
6. 令 W 為 Ｒ^n 之 subspace，Ｐ 為 W 之 projection matrix。
(1) 試證 Ｉ+Ｐ 為invertible (Ｉ為 identity matrix)。
(2) 試用 Ｉ 及 Ｐ 等表示出 (Ｉ+Ｐ)^(-1)。
(3) 若 Ｐ 亦為 orthogonal matrix，試證 Ｐ=Ｉ。
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