課程名稱︰線性代數二
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳俊全
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2005年06月23日，13:20-15:10
考試時限：110分鐘
試題：
以下 7 題選 5 題, 每題 20 分
┌5 0 0┐
1. 找一組basis, 並用它們將矩陣 │2 2 3│ 化成 Jordan canonical form
└5 0 5┘
┌λ 1 0 0┐
│ 0λ 1 0│
2. 令 A = │ 0 0λ 1│
└ 0 0 0λ┘
(1) 設 λ = 0, 求 A^2, A^3, A^4
(2) 設 λ ≠0, 求 A^20
3. 令 A 為 n by n 矩陣, 向量v∈C^n
┌1┐
(1) 設 v =│3│ 且 (A+3I)v = 0, 求向量 (A^3 + 2A - 5I)v.
└5┘
(2) 假設 (A^4 - I)v = 0 且 (A^2 + 5A + 6I)v = 0, 試證 v = 0.
4. (1) 試述 Cayley-Hamilton 定理
(2) 試證該定理 (請勿使用Jordan Form之定理)
5. 令 A 為 n by n 矩陣, W 為 R^n 之subspace.
若對所有 W 裡面的 向量 v 都有 Av∈W, 則 W 稱
為 A 之 invariant subspace.
(1) 令向量u∈R^n 且不為0向量, W_k = sp{ u, Au, ..., (A^k)u }
試證存在 k0 使 W_k = W_k0 for all k ≧ k0.
(2) 試證 W_k0 是 A 之 invariant subspace.
┌2 0 0 0 1┐ ┌0┐
│0 2 0 0 0│ │0│
(3) 令 A =│0 0 2 0 1│, v =│0│, 試找 A 之一個
│0 0 0 2 0│ │0│
└0 0 0 0 2┘ └1┘
invariant subspace W 使向量 v∈W 且 W≠R^n
6. 令 A 為 n by n 矩陣, C_A(x) = det(A-xI), E_5 = { v ∈ R^n | Av = 5v }
假設 (x-5)^3 整除 C_A(x), 但 (x-5)^4 不整除 C_A(x).
試證 dim (E_5) ≦ 3.
7. 令Q(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy - 2xz + 2yz, 試判斷 (0,0,0)
為 local minimum, local maximum 或 saddl point ?
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