課程名稱︰線性代數二
課程性質︰數學系必修
課程教師︰陳俊全
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期︰2005年05月24日，13:20-15:10
考試時限：110分鐘
試題 :
6選5題
┌ 0 0 1+2ι┐
│ │
1. 令 Ａ=│ 0 5 0 │，找 unitary matrix Ｕ 及 diagonal matrix Ｄ，使
│ │
└ 1-2ι 0 0 ┘
Ｄ=Ｕ^(-1)ＡＵ。
2. (1) 令 Ａ、Ｐ 為 real symmetric matrices 且互為 similar。試證 Ａ 及 Ｐ 為
orthogonally similar，即存在 ortogonal matrix Ｓ 使 Ｓ^(-1)ＡＳ=Ｐ。
(2) 若 Ａ 為 real symmetric 且其 eigenvalues 為 λv1、λv2、‧‧‧、λv(n)
，試證 detΑ=λv1 λv2‧‧‧λv(n)。
3. 令 Ｍv(n ×n) 代表所有實矩陣構成之實數向量空間。定義
tr[Av(ij)]v(n ×n) = Av11 + Av22 +‧‧‧+ Av(nn)，〈Α,Β〉= tr(ΑΒ^(T))
for Α、ΒεＭv(n ×n)。
(1) 試證〈 , 〉為 Ｍv(n ×n) 上之 inner product。
(2) [tr(Α^(T)Β)]^2 ≦ tr(Ａ^(T)Ａ)‧tr(Ｂ^(T)Ｂ) 是否成立？
(3) 試證 tr(ＡＢ) = tr(ＢＡ)。
4. 令 V = ｛a + bx + cx^2│a、b、cεＣ，3a + b - c = 0｝為由一些二次多項式構成
之集合。令 dim v(Ｃ) V 為將 V 看作 complex vector space 之 dimension，
dim v(Ｒ) V 為將 V 看作 real vector space 之 dimension，求 dim v(Ｃ) V 及
dim v(Ｒ) V。
5. 令 T：Ｒ^3 → Ｒ^3，T([x,y,z]) = [z,0,y]，Ｂ= ([1,1,1],[1,1,0],[1,0,0])，
Ｂ= ([1,-1,1],[0,0,1],[0,1,0])，求 T 之 matrix representation Rv(Ｂ,Ｂ) 及
Rv(Ｂ,Ｂ')。即 Rv(Ｂ,Ｂ)、Rv(Ｂ,Ｂ') 為滿足下列矩陣：
→ → → →
[T( v )]vＢ = Rv(Ｂ,Ｂ) [ v ]vＢ，[T( v )]vＢ' = Rv(Ｂ,Ｂ') [ v ]vＢ。
6. 試證 Ａv(n ×n) 是 unitary diagonalizable 之充分必要條件是
→ → →
║Ａ v║=║Ａ* v║for all v εＣ^n。
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