推 windswiff :真是太感謝卷霖了TwT 12/13 19:58
→ liltwnboiz :我不是卷啦 都炸光了 Orz 12/13 19:59
※ 編輯: liltwnboiz 來自: 140.112.7.59 (12/13 21:23)
課程名稱︰微積分乙
課程性質︰必帶
課程教師︰王振男
開課學院：醫學院
開課系所︰醫學系
考試日期（年月日）︰2008/12/15
考試時限（分鐘）：20
是否需發放獎勵金：是
試題 :
1. (10%)Show that if α>-1 and β>α+1, the following integral converges
∞ x^α
∫ ─── dx
０ 1+x^β
sol> α>-1 => -α<1, β>α+1 => β-α>1
∞ x^α ∞ 1
∫ ─── dx = ∫ ──────── dx
０ 1+x^β ０ x^(-α)+x^(β-α)
１ 1 ∞ 1
= ∫ ──────── dx + ∫ ──────── dx
０ x^(-α)+x^(β-α) １ x^(-α)+x^(β-α)
１ 1 ｂ 1
= lim ∫ ──────── dx + lim ∫ ──────── dx
a→0+ ａ x^(-α)+x^(β-α) b→∞ １ x^(-α)+x^(β-α)
１ １
First, ─── > ──────── for any 0<x<1
x^(-α) x^(-α)+x^(β-α)
１ １ １ 1
lim ∫ ─── dx converges => lim ∫ ──────── dx converges
a→0+ ａ x^(-α) a→0+ ａ x^(-α)+x^(β-α)
１ １
Second, ──── > ──────── for any 1<x<∞
x^(β-α) x^(-α)+x^(β-α)
ｂ １ ｂ 1
lim ∫ ──── dx conv. => lim ∫ ──────── dx conv.
b→∞ １ x^(β-α) b→∞ １ x^(-α)+x^(β-α)
∞ x^α
Therefore ∫ ─── dx converges.
０ 1+x^β
2.(10%)solve the initial value problem:
dy
── = αy(m-y), y(0) = y > 0
dt °
where α, m are positive constants. also, find lim y(t)
t→∞
1 1
sol> ──── dy = dt => ∫──── dy = (1/αm)∫{(1/y)+[1/(m-y)]} dy
αy(m-y) αy(m-y)
= (1/αm)(ln|y/(m-y)|) = t + C => |y/(m-y)| = (c')e^(αmt)
之後討論 m > y, m < y 的兩種情形, 並且代入起始條件求得c'
如果有錯請提出 感謝
這篇是打給班上同學用的 順便放上來
如果有獎勵當然很好 @.@
按規定沒有的話也ok Orz
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