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※ 編輯: liltwnboiz 來自: 114.24.147.154 (12/18 00:49)
※ 引述《kf40410 (Ed)》之銘言：
課程名稱︰微積分乙上
課程性質︰必帶
課程教師︰王振男
開課學院：醫學院
開課系所︰醫學系
考試日期（年月日）︰2010/12/14
考試時限（分鐘）：25
是否需發放獎勵金：是
1. Test convergence for
∞ lnx
∫─────── dx , p>0 (分情形討論)
ｅ (1+x^2)^(1/p)
lnx lnx
sol> Let f(x) = ─────── , g(x) = ────
(1+x^2)^(1/p) x^(2/p)
f(x) x^(2/p) 1 lnx
lim ── = ─────── = 1 , and ──── < ──── for any x > e
x→∞ g(x) (1+x^2)^(1/p) x^(2/p) x^(2/p)
∞ 1 ∞ 1nx
(1) When p > 2, =>∫ ──── dx diverges => ∫ ──── dx diverges
ｅ x^(2/p) ｅ x^(2/p)
∞ lnx
=> ∫ ─────── dx diverges.
ｅ (1+x^2)^(1/p)
∞ lnx ∞ ∞
(2) When p = 2, ∫ ──── dx = ∫ lnx d(lnx) = (1/2)(lnx)^2 | diverges
ｅ x^(2/p) ｅ ｅ
∞ lnx
=> ∫ ─────── dx diverges.
ｅ (1+x^2)^(1/p)
∞ lnx 1 ∞
(3) When 0 < p < 2, ∫ ──── dx = ──── ∫ lnx d{x^[(-2/p)+1]}
ｅ x^(2/p) (-2/p)+1 ｅ
1 ╭ ∞ ∞ ╮
= (────)│(lnx){x^[(-2/p)+1]} | - ∫x^(-2/p+1)(1/x) dx │
(-2/p)+1 ╰ ｅ ｅ ╯
converges converges
lnx 1/x 1
for lim ─── = lim ─── = lim ─── = 0 (L'Hopital's Rule)
x→∞ x^α x→∞ αx^α x→∞ x^α (α > 0)
∞ lnx
=> ∫─────── dx converges.
ｅ (1+x^2)^(1/p)
(這題真是殺死我一堆腦細胞....找不到comparison 竟然只能暴力解... Orz)
2. Test convergence for
(π/2) √(sinx)
∫ ──── dx
０ x
sol> √(sinx) √(sinx/x)
──── = ───── < 1/√(x) for any 0 < x ≦ π/2
x √(x)
(Let f(x) = sinx, According to the Mean Value Theorem, for any
0 ≦ a ≦ π/2, there exists a number 0 < c < π/2 such that
sina - sin0
────── = cos(c) < 1 => (sinx/x) < 1 => √(sinx/x) < 1)
a - 0
(π/2) (π/2) √(sinx)
∫ 1/√(x) dx converges => ∫ ──── dx converges.
０ ０ x
感想: 如果考試的時候能寫出來就好了 哭哭
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※ 編輯: kf40410 來自: 140.112.4.200 (12/14 13:06)