課程名稱︰統計學一上
課程性質︰財金系必修
課程教師︰林岳祥
開課學院：管理院
開課系所︰財金系
考試日期（年月日）︰2016.1.15
考試時限（分鐘）：
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
＊總分110分。
1. 令f(x,y)的聯合機率質點函數為f(x,y)=cxy, x=0,1,2, y=1,2; f(x,y)=0, otherwise
，其中C為常數，f(x,y)為良好定義的聯合機率質點函數。
(1) (3分)試求Y的邊際機率函數，並寫出E(Y)。
(2) (3分)試求X與V的相關係數。請問x與Y是否獨立？
(3) (5分)試求條件期望值 E(3X+1|Y=1) 與條件變異數 Var(3X+1|Y=1)。
2. 台大財金系的學生每週都有許多考試，跟據多屆學長姊的調查統計，平均每4週會有12
次考試。假設考試符合 Poisson 實驗之特性 (已知 e=2.7183)。
(1) (3分)試求2次考試問隔超過1週的機率。
(2) (3分)試求2週內剛好有4次考試的機率。
(3) (5分)從學期開始後第6次考試起算，已知4週內沒有任何考試，求再等待超過4週，第
7次考試才發生的機率。
(4) (3分)以標準常態分配(Z)求算台大財金系的學生四年160週內超過400個考試的機率，
且做不連續調整，寫出機率式。
3-8
台大財金系欲研究台大財金系學生畢業後的月收入情況，因此訪問了15個系友，並記錄其
性別 ：(M:男，F:女)。調查的結果如下：
編號 月收入 性別
01. 7 M / 06. 5 M / 11. 4 M
02. 5 F / 07. 8 F / 12. 4 M
03. 3 M / 08. 9 F / 13. 9 F
04. 8 M / 09. 3 M / 14. 11 M
05. 4 F / 10. 12 M / 15. 13 F
3. 從編號O1~05的5位系友中採取後放回(with Replacement)方式隨機抽取1位，直到抽到
第一位女性系友為止。
(1) (3分)令隨機變數X_1為抽取的總次數，寫出X_1之分配與相關的參數。
(2) (5分)台大財金系辦的工讀生說：「計算P(X1>41x1>2)的值，相當於計算P(X_1>2)」
，試判斷他／她說的是否正確？請以分別計算 P(X_1 > 4|X_1>2)及P(X_1>2)說明之。
4. 從編號01-05的5位系友中採取後放回(with Replacement)方式隨機1位，直到第2次抽到
女性系友為止。
(1) (2分)令隨機變數x，為抽取的總次數，寫出x，之分配與相關的參數。
(2) (3分)試求機率值P(X_3>3)。
(3) (5分)台大財金系辦的工讀生說：「P(X_3>3)=P(X_4)+P(X_4=1)，X_4：抽樣的3個系
友中，女性的人數，」請判斷他／她說的是否正確？請詳細說明，需說明P(X_3>3)、P(X_4
=0)、P(X_4=1)的涵義，並解釋等式為什麼會成立。
5. 從編號01 -45的5位系友中隨機抽取3位，討論其性別。
(1) (2分)令隨機變數Y_i為第i位被抽取到的系友中男生的人數(i=1,2,3)，求Y_1的分配
與相關的參數。
(2) (4分)若抽取採取後放回(with Replacement)方式，令隨機變數w．為3位抽取到的系
友中是男性的總人數，試求W_1的分配及參數，並求E(W_1)與Var(W_1)。
(3) (4分)若抽取採取後不放回(without Replacement)方式，令隨機變數W_2為3位被抽取
到的系友中是男性的總人數，寫出W_2之分配與相關的參數，並求E(W_2)。
(4) (2分)承上題，求被抽取到的3位系友中，恰好有1位是女性的機率。
6. 為研究需要，從15個系友中抽取4個樣本出來研究，台大財金系辦的工讀生提供了三種
方法。試回答以下問題：
(1) (1分)方法A：先隨機抽取一個編號，再以三個人為間隔，抓取其餘三個樣本。例如：
抽到編號3，則抽出的四個樣本依序為3,6,9,12。方法A的抽樣方式稱為？
(2) (2分)方法B：簡單隨機抽樣。試各舉出一個可能出現的抽榭非抽樣誤差？
(3) (4分)方法C：將15位系友分為男女兩層，且採取非比例配置(Non-proportional Allo
cation)、考慮統計學家W. Edwards Deming所提出，兩層個體間單位抽取成本與變異
性的分層抽樣法 ( n_i = n*(N_i*σ_i/(C_i)^(1/2))/(Σ j from 1 to k (N_j*σ_j/(C_
j)^(1/2))) ) 不放回的方式抽取4位。假設男女兩層
月收入的標準差比例為4:1，單位抽取成本比例為4:1，求算被抽取到的4位系友中，男性與
女性分別被抽取到的人數。
7. 將母體設定為編號01-05的系友，台大財金系想估計母體中最終學歷為碩士以上的比率p
。假設編號03的系友最終學歷非碩士以上(亦即5位系友中有p=4/5的比例最終學歷為碩士)
。
假設從母體(編號01-05的系友)隨機抽取n位，n=1,2,3,4,5。第i位系友的最終學歷為碩士
以上時，則記錄X_i=1,若不為碩士以上時，則記錄X_i=0，並將搜集的樣本記為(X_1,…,
X_n)。
(1) (6分)假設n=3，已取後不放回。(without replacement)的方式抽樣，並令樣本比率
為S_1。試求S_1的機率分配與期望值。
(2) (4分)假設n=3，以取後放回(with replacement)的方式抽樣，並今樣本比率為S_2。
試求S_2的機率分配。
(3) (4分)假設n=4，以取後放回(with replacement)的方式抽樣，並令樣本比率為S_3。
試求S_3的機率分配。
(4) (10分)台大財金系辦的工讀生說：「S_2與S_3皆為p的不偏估計式，但S_2具有相對有
效性。」請問他／她的說法正確嗎？需詳細說明S_2與S_3是否為p的不偏估計式的原因，以
及S_2是否具有相對有效性的原因。
8. 財金系畢業系友的月收入為常態分配，欲調查月收入平均數μ與月收入標準差σ，故以
簡單隨機方式詢問n=15位，令隨機變數X_1為第1位被抽取到的系友的收入(i=1,2,…,15)。
假設號01-45的15位系友是財金系辦以簡單隨機方式抽取所得的一組樣本。
(1) (10分)求算σ^2點估計值輿95%雙尼信賴區間。
(2) (14分)求算μ的點估計值與95%雙尾信賴區間，並解釋所得的信賴區間的意涵。
以上題目中可能使用到的部份機率
右尾機率
分配 0.975 0.95 0.9 0.1 0.05 0.025
z 1.282 1.645 1.960
χ^2(v=14) 5.629 6.571 7.790 21.064 23.685 26.119
χ^2(v=15) 6.262 7.261 8.547 22.307 24.996 27.488
χ^2(v=16) 6.908 7.962 9.312 23.542 26.296 28.845
T(v=14) 1.345 1.761 2.145
T(v=15) 1.341 1.753 2.131
T(v=15) 1.337 1.746 2.120
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