課程名稱︰統計學與實習
課程性質︰系定必修
課程教師︰李顯峰 教授
開課系所︰經濟系
考試時間︰2006/01/10
試題：
注意：不用抄題目，請標示清楚題號。不可參閱任何書籍筆記等，可使用計算器。
一、是非題： (15％，每小題 3％，需說明正確或錯誤的理由)
(1) 若 Z_X, Z_Y 分別是隨機變數 X, Y 的標準化變數，X,Y 的相關係數等於 Z_X,
Z_Y 的相關係數。
(2) 若 X, Y 的計量單位 (如將公尺 m改為公分cm) 變化，則 ρ_XY＝0 仍不會改
變。
(3) 設 X_1, X_2 均為相互獨立之標準常態隨機變數，則 X_1＋X_2∕X_1－X_2 為
一自由度為 1的 t分配。
__ ︿ __ ︿
(4) 若 θ, θ 分別是母體參數θ的估計式，則θ若為θ的不偏估計式，θ為θ的
的偏誤估計式，則應該使用前者。
2 2
(5) 若樣本變異數 S 是σ 的不偏估計式，則 S也是σ的不偏估計式。
二、 (15％) 2
(1) 假設自一平均數為μ，變異數為σ 的母體隨機抽取 X_1,..., X_n 的一組樣
本，則：
︿2 1 n _ 2 2 1 n _ 2 2
σ ＝─ Σ(X_i－X) 與 S ＝── Σ(X_i－X) 是否皆為母數σ 的不
n i=1 n-1 i=1
偏估計式？ (5％)
︿2 1 n _ 2
(2) 若母體平均數μ已知時，試應用點估計式 σ ＝─ Σ(X_i－X) 與
n i=1
2 1 n _ 2 2
S ＝── Σ(X_i－X) 求出母體變異數σ 的信賴區間，又兩者的信賴區間
n-1 i=1
長度是否相等？ (10％)
2
三、(5％) 假設 X_i～N(μ,σ ), i＝1,...,n, Z_i～N(0,1), i＝1,...,k 且所有
__ _
√nk (x－μ)
變數都是獨立的。試問 ─────── 呈何種機率分配？若為常態分配請寫明
k 2 1/2
σ( ΣZ_i)
i=1
其平均數與變異數；若為其他分配而必須標明自由度時，請註明為何；若為未知
的分配，請寫不祥。
2
四、 (10％) 假設隨機變數 X～N(μ,σ ) ，由母體 X中以抽出放回方式隨機抽取 n
個變量 X_1, X_2,..., X_n 為一組樣本，若有下列兩個母體均數μ之估計式：
︿ nX_1 n X_i ︿ n-1 X_i 3X_n
μ_1＝───＋ Σ───, μ_2＝ Σ───＋───
2n－1 i=2 2n－1 i=1 n＋2 n＋2
︿ ︿
試問：(1) μ_1, μ_2 是否為μ之不偏估計式？
︿ ︿
(2) μ_1, μ_2 是否為μ之一致性估計式？
(3) 若抽出兩個變量 (n＝2) ，即；
︿ 2X_1 X_2 ︿ X_1 3X_2
μ_1＝──＋──, μ_2＝──＋── 則何者為μ之相對有效估計式？
3 3 4 4
五、(5％) 試證明二個隨機變數 X與Y 的相關係數值 |ρ_XY|≦1 。
六、 (13％) 已知隨機變數 X及Y 之聯合機率分配為
2
f(x,y)＝C(x ＋y), x＝1,2; y＝0,1,2
試求： (1) C之值。 (2) X及Y 之邊際機率分配。 (3) 條件期望值 E(X|Y＝1)。
(4) W＝X＋Y之機率分配。 (5) Z＝max(X,Y)之機率分配。
七、(7％) 何謂中央極限定理 (Central Limit Theorem)？
請簡略的說明中央極限定理的重要性。
八、(6％) 查表求出下列各值：
(1) X～t_17, P(X＞a)＝0.97 find a＝？
2
(2) X～χ_11, P(3.8157＜X＜b)＝0.925 find b＝？
(3) X～t_c, P(-1.74＜X＜1.74)＝0.9 find c＝？
九、 (14％) 設有 A, B 兩班學生，其統計學成績皆呈常態分配，且這兩班成績的分
配彼此獨立，已知 A班有八分之一的學生成績不及格，B 班有十分之一的學生成
績不及格，另外，A 班學生成績在八十分以上佔四分之一，B 班僅有五分之一。
試問：
(1) A,B 兩班的統計學平均成績成績分別為多少？其對應的標準差各為多少？
(2) 今從 A, B 兩班各隨機抽取一名學生，則這兩名學生的平均成績超過75分的機
率有多大？
十、 (10％) 265 公車自起點至終點行車時間為 N(50,50) ，每十分鐘發一班車，問
後班車比前一班車早到終點的機率為多少？ (令 X為前班車行車時間，Y 為後班
車行車時間，且 X與Y 獨立。)
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