課程名稱：線性代數
課程性質：必修
課程教師：顏文明
開課學院：電機資訊學院
開課系所：資訊工程學系
考試日期（年月日）：2013.1.11
考試時限（分鐘）：180分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題：
1. 令E=I_5(R_2←R_2+4R_3)，則E^-1=I_5(Cp←Cp+αCq)，其中p,q,α之值各別為何？
2. 若a^T=[2 1 1 1 3]，令A=I_5+t．a．a^T，其中t∈R，請問當t=╴╴╴時，A沒有反
矩陣，此時A*=╴╴╴？
3. 請找一A∈R^(3x3)，使得A之最小多項式為(λ-1)^2(λ+2)且for all p,q∈{1,2,3}
(A)pq為非零整數且|(A)pq|≦5。
┌ ┐
│2 1 1│
│1╲╲ │
4. 令A=│ ╲╲╲ │∈R^(nxn) (n>3)，請找一正交方陣Q∈R^(nxn)及λ1,λ2…λn∈R
│ ╲╲1│┌ ┐
│1 1 2││λ1 │
└ ┘│ λ2 │
使得(Q^T)．A．Q=│ ╲ │且λ1≧λ2≧λ3≧…≧λn。
│ λn│ ┌ ┐
└ ┘ │2 │
│ -5 │
5. 令A∈R^(5x5)且A^T=A，若正交方陣Q∈R^(5x5)滿足(Q^T)AQ=│ 3 │，請找二
┌ ┐│ 1 │
│σ1 ││ -7│
│ σ2 │└ ┘
正交方陣u,v∈R^(5x5)，使得(u^T)Av=│ σ3 │且σ1≧σ2≧σ3≧σ4
┌ ┐ │ σ4 │ ≧σ5
│1 0-1 0 2 1│ │ σ5│
│0 1 1 0-1 0│ └ ┘
6. 令A=│0 0 0 1 1 1│，請找一矩陣B使得N(A)=C(B)且N(B)={0}。
│0 0 0 0 0 0│
│0 0 0 0 0 0│
└ ┘
7. 若A∈R^(6x4)且Rank(A)=3，請問dimN(A),dimC(A^T)及dimN(A^T)之值為何？
┌ ┐
│-3 -3 2│
8. 令A=│ 1 4 1│，請找一矩陣P∈R^(3x3)（P有反矩陣）及λ1,λ2,λ3∈R，
│-2 -3 1│ ┌ ┐
└ ┘ │λ1 │
使得(P^-1)．A．P=│ λ2 │且λ1≧λ2≧λ3。
┌ ┐ │ λ3│
│1 -4 2│ └ ┘
9. 令A=│2 -1 -1│，請問A可不可以「對角線化」？理由為何？
│2 -4 1│
└ ┘
┌ ┐
│2 0 0 0 0│
│1 2 0 0 0│
10. 若A=│0 0 3 0 0│，P∈R^(5x5)且P有反矩陣，令B=(P^-1)AP，請問B之特徵多項式
│0 0 1 3 0│
│0 0 0 0 3│
└ ┘
為何？B之最小多項式為何？
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