課程名稱︰線性代數
課程性質︰必修
課程教師︰陳文進
開課學院：電資院
開課系所︰資訊系
考試日期（年月日）︰980115
考試時限（分鐘）：150分
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
┌ x ┐ ┌ 2x y + 3z ┐
1. 線性變換T:R^3→R^3, T(│ y │)=│ x + 2y - z │, A是R^3中
└ z ┘ └ 3x + 2y + 2z ┘
x^2+(y-3)^2+(z+2)^2 ≦ 9 所定義之球, 求 T(A)的體積 (10%)
2. 設V是R^3中平面 x+y+z = 0
(a)求V之投影矩陣 (b)求點(2,1,1)在V上之投影點 (16%)
3. 向量空間 P2 = { a+bx+cx^2 | a,b,c 屬於R } 中兩向量f(x), g(x)
1
之內積為 < f(x)‧g(x) > = ∫ f(x)g(x)dx, 已知 {1,x,x^2}為一組基底
-1
(a)用Gram-Schmidt法找出P2之一組 orthonormal 基底 {u1,u2,u3}
(b)將f(x) = 1+x+3x^2 寫成 u1,u2,u3 之線性組合 (16%)
4. 試證明下列兩敘述或給出反例 (14%)
(a)x是矩陣A之eigenvalue λ 的 eigenvector,
x也是矩陣B之eigenvalue μ 的 eigenvector, 則x會是A+B的eigenvector
(b)λ是A的eigenvalue, μ是B的eigenvalue, 則λ+μ是A+B的eigenvalue
┌2 2 0┐
5. 若矩陣 A=│8 2 a│相似於對角矩陣Λ (即存在可逆矩陣P使得(A^-1)AP=Λ)
└0 0 6┘
試求實數a與矩陣Λ及P之值 (15%)
6. 據調查某地區2000年時就業人口佔4/5, 失業人口占1/5, 往後每年就業人口中
有 1/20 會失業, 失業人口中有 3/4 會找到工作, 試用 eigenvalue 方法求
n年後(即第200n年)就業人口和失業人口各占多少 (14%)
7. 試將下列二次曲線方程式用 eigenvalue 的方法化為標準型 (15%)
3x^2-10xy+3y^2+16(√2)x-32 = 0
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