課程名稱︰線性代數
課程性質︰系必修
課程教師︰陳文進
開課學院：電資學院
開課系所︰資工系
考試日期（年月日）︰2010/11/18
考試時限（分鐘）：180min
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
線性代數期中考 Fall 2010
4
1.(6%) 令 2x1+2x2-3x3+8x4=6 所定義R 中之hyperplane為H
(a) 以內積求點 w=(1,1,1,1) 到 H 之距離。
(b) 求點 w 在 H 上之投影點。
{ x+ y+az=1
2.(10%)設線性方程組 { x+ay+ z=1 有解但不惟一，試求方程式之所有解。
{ax+ y+ z=-2
┌1 2 3┐ 2 2
3.(10%)設矩陣 A=│0 1 2│,矩陣X滿足A X=A +4X-2A
└0 0 1┘
-1 -1 -1 -1 -1
4.(10%)A, B, A+B均為n階可逆矩陣, 試證A +B 可逆，並求(A +B ) 。
┌1┐ ┌2┐ ┌3┐ {Au=u+v
5.(10%)u=│4│, v=│5│, w=│8│, 3x3矩陣A滿足 {Av=v+w , 求矩陣A。
└3┘ └4┘ └6┘ {Aw=w-u
n
6.(10%)u1,u2,...,uk,v屬於R ,試證
v屬於Span(u1,u2,...,uk) 若且唯若 Span(u1,u2,...,uk)=Span(u1,u2,...,uk,v)
7.(12%)設向量組{x,y,z}線性獨立, 試說明下列三組向量各分別為線性獨立或線性相依。
(a){ x+y, y+z, z-x }
(b){ x+y, y+z, x+2y+z }
(c){ x+2y, 2y+3z, x+3z }
n m-1 m
8.(10%)n階矩陣A及向量x屬於R , 滿足A x≠0, A x=0,
m-1
求證{ x, Ax,...,A x}線性獨立。
T
9.(16%)以課本或課堂上介紹之方法求子空間 R(A), N(A), C(A), N(A )之基底,
┌ 1 1 0 1 -1┐
│ 1 1 2 -1 1│
其中矩陣A=│ 2 2 2 0 0│
└-1 -1 2 -3 3┘
┌ 1┐ ┌ 1┐ ┌-1┐ ┌ 2┐ ┌ 0┐
│ 2│ │-2│ │-2│ │ 0│ │ 0│ 4
10.(6%) V=Span(│-1│,│-1│,│ 1│,│ 1│,│ 0│)為R 之子空間, 求dim V
└ 1┘ └ 0┘ └ 1┘ └-1┘ └ 2┘
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