課程名稱︰微積分甲下
課程性質︰必修
課程教師︰周青松
開課學院：管理學院、生農學院、理學院
開課系所︰工管系科管組、生工系、生機系、地質系
考試日期（年月日）︰2012/06/18
考試時限（分鐘）：110分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
I.
A. (10%) Show that ∫ dx/x^p convergent if p > 1 and diverges if 0＜p≦1.
B. (10%) Let p be a real number.Show that
Σ 1/k^p converges if p>1 and diverges otherwise.
II.
Let Σak be a series with non-negative terms, and suppose that
(ak)^(1/k) →ρ.Show that
A.(10%)If ρ<1, then Σak converges.
B.(10%)If ρ>1, then Σak diverges.
III.
A.(10%)Expand g(x)=e^(x/2) in powers of x-3.
B.(10%)Prove that
1 1 1
ln x = ln a + — (x-a) - －－(x-a)^2 + －－(x-a)^3 - ...
a 2a^2 3a^3
for 0<x≦2a.
IV.
A.(10%)Use L'Hospital rule to evaluate the limit
e^x-1-x
lim －－－－－－.
x→0 x arctan x
B.(10%)Find a power series representation for the improper integral
x
∫ arctan t/t dt.
0
V.Set f(x)=xe^x
A.(10%)Expand f(x) in a power series.
B.(10%)Integrate the series and show that
∞ 1 1
Σ －－－－－ = －－
n=1 n!(n+2) 2
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