[試題] 95下 李秋坤 微積分甲 期中考

[hkchou (KaiChou)]

課程名稱︰微積分甲
課程性質︰共同必修
課程教師︰李秋坤
開課學院：
開課系所︰生工、生機、地質、地理、工管
考試日期（年月日）︰2007/04/09
考試時限（分鐘）：110
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）

試題 :

微積分甲第一次考試試題

1.判斷下列級數收斂或發散並仔細說明原因:(每小題8分)


    ∞            π
(a) Σ  (-1)^n sin─
    n=1            n

    ∞    1
(b) Σ   ──
    n=3  n㏑n

    ∞   sin 4n
(c) Σ  ────
    n=1   4^n

    ∞      1
(d) Σ  ────
    n=1 2^(1/n)-1

2.求下列冪級數的收斂區間及其半徑(20分)

    ∞     (x-1)^n
(a) Σ   ─────
    n=1       n

    ∞   2*4*6*.....*(2n)
(b) Σ   ─────────x^n
    n=1  1*3*5*.....*(2n-1)

    ∞   (-1)^n π^(2n+1)
3.求Σ   ─────────x^n  的值(10分)
    n=0  4^(2n+1)*(2n+1)!

                               xy^2
4.求(a)      lim        ─────────  (10分)
         (x,y)→(0,0)        x^2+y^2


                               xy
    (b)証明      lim      ───────    不存在
             (x,y)→(0,0)    x^2+y^2

            x^2  y^2  z^2
5.求過曲面───+──+── = 1  上一點(Xo,Yo,Zo)的切面方程式(10分)
            a^2  b^2  c^2

6.求f=(x,y)=x^2+xy+y^2在(1,2)處方向<3,4>的方向導數(10分)


7.若z=f(x,y),x=rcosθ  ,y=rsinθ

証明
     δ^2 Ζ       δ^2 Ζ       δ^2 Ζ       1    δ^2 Ζ      1     δΖ
    ───── ＋ ───── ＝ ───── ＋ ── ───── ＋ ── ────
       δx^2         δy^2         δr^2       r^2   δθ^2       r     δr

(10分)

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