課程名稱︰高等微積分
課程性質︰必修
課程教師︰林長壽
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2010.01.15
考試時限（分鐘）：180
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1. 如果(M,∥‧∥)是一個Banach space, xn屬於M且滿足
∥xn+1 - xn∥ ≦ 1/2 ∥xn - xn-1∥, n = 2,3,...
證明：xn會收斂到M上的一點
2. M = C[0,1], ∥f∥= sup ｜f(x)｜, for all f屬於m。
x屬於[0,1]
1 2 2
證明：Φ(f) = ∫｜f-1｜ dx 在f0(x) = x 是連續
0
3. M = C[0,1], ∥f∥= sup ｜f(x)｜, for all f屬於m。
x屬於[0,1]
2
定義ψ(f) = x (f(x)/2 - x^4)
證明：ψ是M→M的contraction mapping
4. 證明
x^2y^2/x^2+y^2 if (x,y) ≠(0,0)
f(x,y) = {0 if (x,y) ＝(0,0)
在(0,0)是可微分
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