推 TINTINH:已收精華區 :) 01/07 18:34
課程名稱︰統計學
課程性質︰系定必修
課程教師︰林惠玲老師
開課學院：社會科學院
開課系所︰經濟學系
考試日期（年月日）︰2008/01/02
考試時限（分鐘）：120分鐘
是否需發放獎勵金：是 謝謝
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
*答題請附解釋或計算過程，否則不予計分
一、(20%)是非題(未說明理由者不予計分)
_ _ _
(a)以S1^2=1/n-1Σ(X-X)^2與S2^2=1/nΣ(X-X)來估計σ^2，其中S2^2=1/nΣ(X-X)
為σ^2的不偏估計式。
_ _ _ _
(b)設S1^2=1/n-1Σ(X-X)^2，S2^2=1/nΣ(X-X)，若以S1/X與S2/X來估計σ/μ，
則兩者均為一致性估計式。
︿ ︿ ︿ ︿
(c)假設θ1與θ2均為參數3的不偏(unbaised)估計式，其中θ1較θ2更為有效
︿
(more efficient)。若根據同一隨機樣本計算估計值，則θ2的估計值必然
︿
較θ1的估計值更接近3。
(d)若Y=a+bX，Z=c+dX，其中a,b,c,d為常數，則Y與Z的共變數等於X的變異數。
(e)若Y=a+bX，其中a,b為常數，則X與Y之相關係數等於1。
二、(18%)假設兩通電話之間的間隔時間X為指數分配，意即X~Exp(λ=1/100)，X以
分鐘計。
(a)(5%)求兩通電話之間的間隔時間大於15分鐘的機率。
(b)(5%)求兩通電話之間的間隔時間大於110分鐘的機率。
(c)(3%)假設第一通電話打來之後，過了95分鐘，仍然沒有電話打來，求過了110
分鐘後仍然沒有電話打來的機率。
(d)(5%)求在100分鐘內總共有10通電話打來的機率。
三、(22%)某語言研究機關為研發新考題，從全球隨機挑選1000人進行模擬試驗。該
測驗滿分為100分，60分為通過。假設若讓全世界所有人都參加考試，會有
比例為p的人通過考試。平均成績為μ，變異數為σ^2。
_
(a)請問這1000人平均成績X之分配為何?
(b)請問這1000人之中通過人數之分配為何?
^ ^
(c)承上題，我們可否使用常態分配逼近p之真實分配?(p為1000人通過比例)?
為什麼?若可，請寫出該常態分配函數。
(d)假設已知這1000名受測者成績之平均數為65，變異數為25，而通過率為45%。
出題委員為深入了解答題情形，隨機從這1000名受測者中選取600名。
請問這600名平均成績之分配為何?
(e)承上題，試問這600名中有250名通過考試的機率為何?
(f)承上題，若從這1000名受測者中隨機選取10人，是否可計算其平均成績分配
之平均數與變異數?若可，請計算其數值；若不可，請說明理由。
四、(17%)隨機變數X1,X2,...,Xn為一組以抽出放回的方式，從母體N(μ,σ^2)中隨機
︿ n-1 ︿
抽出的樣本，n>=3，現以μ1=1/n-2 Σ Xi與μ2=1/2(X1+Xn)來估計μ。
︿ ︿ i=2
(a)(5%)請問μ1與μ2何者為μ的不偏估計式?
︿ ︿
(b)(6%)請問μ1與μ2何者為μ的一致性估計式?
︿ ︿
(c)(5%)請問μ1與μ2何者何者較有效?
*未學過微積分者不必回答第五題，直接回答第六題；已學過微積分者回答第五題即可。
五、(23%)假設X與Y的聯合pdf為:
8xy,0≦y≦x<1
f(x,y)=
0,elsewhere
(a)(5%)求F(1/2,1/3)=P(Y</1/2,Y<1/3)
(b)(10%)求條件機率函數f(x|y)與f(y|x)
(c)(3%)請問X與Y是否獨立?
(d)(5%)求Cov(X,Y)
六、(23%)Given here is the joint probablity function associated with data
obtained in a study of automobile accidents in which a child(under5)
was in the car and at least one fatility occurred. Specifically,
the study focused on whether or not the child survived and what type
of seaybelt(if any)he or she used.Define:
0, if the child survived 0, if no belt used
Y1= and Y2= 1, if adult belt used
1, if not 2, if car-seat belt used
Notice that Y1 is the number of fatalities per child and, since
children's car seats usually utiluze two belts, Y2 is the number of
seatbelts in use at the time of the accident.
y2\y1 0 1 │
─────────────┼────
0 0.38 0.17 │ 0.55
│
1 0.14 0.02 │ 0.16
│
2 0.24 0.05 │ 0.29
│
─────────────┼────
0.76 0.24 │ 1.00
(a)(10%)Find E(Y2|Y1=0) and V(Y2|Y1=0)
(b)(3%)Are Y1 and Y2 independent? Why or why not?
(c)(4%)Calculate Cov(Y1,Y2)and interpret this value.
(d)(6%)Let cost of accident be C=100Y1+20Y2. Pleaes findE(C) and V(C).
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