Re: [試題] 93年上林照田邏輯丙期末考

[sitos (麥子)]

板上林照田的試題的參考解答 請大家幫我看看有沒有錯
(明天早上要考試,有錯就請大家快點幫忙我訂正)

試題 :
一、定義：
1.語句:有真假值可言的直述句
2.論証:由n(n>=0)個語句為前提,一個語句為結論,所構成的推理方式
3.有效的論証:(1)必然地,如果前提皆真,則結論也真(2)不可能前提皆真,而結論為假
4.妥當的論証:一個論證是有效論證且其前提皆真,即為有妥當論證
二、分類：
1.P→~P 未確定句
2.P→(Q→P) 套套邏輯
3.(P‧~P)→Q 套套邏輯
4.(Pˇ~P)→Q 未確定句
三、舉例：
1.前提與結論皆真的無效論証

ptt是全國最大bbs站 /∴ 這裡是考古題板

2.有效但不妥當的論証

ptt不是全國最大bbs站 /∴ ptt不是全國最大bbs站

四、用真值表判斷以下論証是有效或無效？
(一) 1.p→q
     2.p /∴p‧q

有效

(二) 1.(p‧q)→r /∴p‧(q→r)

無效

五、用自然演繹法証明下列論証
(一)1.p→(q→r)
    2.r→s /∴p→(q→s)

  ->3. p          AP
  | 4. q→r       1,3,MP
  | 5. q→s       4,2,HS
  ----------
    6. p→(q→s)  3-5,CP

(二)1.p→(qˇ~(rˇs))
    2.~s→r/∴~q→~p

  ->3. p              AP
  | 4. (qˇ~(rˇs))   1,3,MP
  | 5. ~~sˇr         2,Impl
  | 6. sˇr           5,DN
  | 7. rˇs           6,Comm
  | 8. ~~(rˇs)       7,DN
  | 9. q              4,8,DS
  --------------------
   10. p→q           3-10,CP
   11. ~q→~p         10,Contra

(三)証明IE是多餘的

  IE: 1. p→(q→r) /∴ (p‧q)→r
    ->2. p‧q      AP
    | 3. p         2,Simp
    | 4. q→r      1,3,MP
    | 5. q         2,Simp
    | 6. r         4,5,MP
    --------------------
      7. (p‧q)→r 2-6,CP


六、選言定式定理
p  q  r | f(p,q,r)=?
---------------------
T  T  T |  T
F  T  T |  T
T  F  T |  T
F  F  T |  T
T  T  F |  F
F  T  F |  F
T  F  F |  F
F  F  F |  T

(p‧q‧r)ˇ(~p‧q‧r)ˇ(p‧~q‧r)ˇ(~p‧~q‧r)ˇ(~p‧~q‧~r)

七、用波蘭式寫出  (~p‧q)→(rˇ~s)

  →~‧pqˇr~s

一、定義
1.語句:有真假值可言的直述句
2.論証:由n(n>=0)個語句為前提,一個語句為結論,所構成的推理方式
3.有效的論証:(1)必然地,如果前提皆真,則結論也真(2)不可能前提皆真,而結論為假

二、分類
1. p → ~p 未確定句
2. p →(~q → p) 套套邏輯
3. (p → q)‧(p → ~q) 未確定句

三、舉例
1.所有前提和結論都真的無效論証。

ptt是全國最大bbs站 /∴ 這裡是考古題板

2.有效但不妥當的論証。

ptt不是全國最大bbs站 /∴ ptt不是全國最大bbs站

四、用真值表法證明 (有效或無效)
(一) p‧(q → r) /∴(p‧q) → r

有效

(二) 1. p → q
     2. q → p /∴(p‧q)ˇ(~p‧~q)

有效

五、用自然演繹法證明
(一) 1. A → B
     2. C → A /∴(AˇC) → (AˇB)

   ->3. AˇC      AP
   | 4. BˇA      1,2,3,CD
   | 5. AˇB      4,Comm
   ---------------------
     6. (AˇC)→(AˇB)

(二) 1. C → (Dˇ(~A‧~B))
     2. AˇB /∴ ~D → ~C

   ->3. C             AP
   | 4. Dˇ(~A‧~B)   1,3,MP
   | 5. Dˇ~(AˇB)    4,DeM
   | 6. ~~(AˇB)      2,DN
   | 7. D             5,6,DS
   ---------------------
     8. C → D        3-7,CP
     9. ~D → ~C      8,Contra

(三) 1. p → (q → r)
     2. r → s /∴ p → (q → s)

   ->3. p          AP
   | 4. q→r       1,3,MP
   | 5. q→s       4,2,HS
   ----------
     6. p→(q→s)  3-5,CP


六、利用「選言定式定理」寫出下一語句
  p q r ║ f(p,q,r)=？
────╫──────
  t t t ║    f
  f t t ║    t
  t f t ║    t
  f f t ║    t
  t t f ║    f
  f t f ║    f
  t f f ║    f
  f f f ║    f

(~p‧q‧r)ˇ(p‧~q‧r)ˇ(~p‧~q‧r)

ㄧ、定義24%
1.個體:存在在或曾經存在在我們所處宇宙當中的任何一個可以數的人,事,物...的東西
2.封閉變項:在公式H中的個體變項v是封閉的,若且唯若公式H是AvK的一部份或公式H是EvK的一部份
3.ambiguity v.s. vagueness(歧義vs含糊)
  歧義:一個語詞有兩種以上的意義或解讀(e.g. 黃牛:(1)一種牛(2)賣二手票又提高價錢的人)
  含糊:一個語詞有兩種以上的使用方式可用在不同層次的對象上 (e.g. 朋友:(1)點頭之交 (2)熟人 (3)生死之交)
4.amphibody (歧句) Ans:句子中的個語詞沒有兩個以上的意義,但合成的句子有兩種不同的解讀方式
5.循環論證的謬誤:一系列的論證,前一個的前提須後一個的結論的支持,但最後一個結論的前提又有賴第一個論證之結論的支持
6.訴諸暴力的謬誤:以暴力脅迫所形成的不妥當論證
7.0,1,2,......,n,....,λs

0:{ }
1:{ 0 }
2:{ 0 , 1 }
n:{ 0 , 1 , ... , n }
λs:{ 0 , 1 , 2 , ... , n , ... }
8.有效語句

量化邏輯中,沒有前提的有效論證之結論,即為有效語句

二.翻譯20%
1.不練武或不運動的人就是不珍惜自己身體的大傻瓜.

Ax(Hx→((PxˇQx)→Rx))

H:(1)是人
P:(1)不練武
Q:(1)不運動
R:(1)是不珍惜自己身體的大傻瓜

2.任何一個自然數都有而且只有一個後繼者.

Ax(Nx→Ey(Syx‧Az(Szx→y=z)))

N:(1)是自然數
S:(1)是(2)的後繼者

3.有人天天讀書 /∴天天有人讀書

Ex(Px‧Ay(Ty→Ryx)) /∴ Ay(Ty→Ex(Px‧Ryx)))

P:(1)是人
T:(1)是一個日子
R:(2)在(1)那天讀書

4.The present king of France is bald.

K:(1) is the present king of France
B:(1) is bald

Ex(Kx‧Ay(Ky→x=y)‧Bx)

三.証明20%
(一) 1. ExHx
     2. AxAy((Hx˙Hy)→x=y)
            /∴ Ex(Hx˙Ay(Hy→x=y))
     3. Hx                   1.EI
     4. Hx‧Hy→x=y          2,UI,UI
   ->5. Hy                   AP
   | 6. Hx‧Hy               3,5,Conj
   | 7. x=y                  4,6,MP
   -----------------------
     8. Hy→x=y              5-7,CP
     9. Ay(Hy→x=y)          8,UG
    10. Hx‧Ay(Hy→x=y)      3,9,Conj
    11. Ex(Hx‧Ay(Hy→x=y))  10,EG

(二) 1.AxFx→Kab /∴Ex(Fx→Kab)

     2. ~AxFxˇKab        1,Impl
   ->3. ~Kab              AP
   | 4. ~AxFx             2,3,DS
   | 5. Ex~Fx             4,QN
   | 6. ~Fx               5,EI
   ------------------------
     7. ~Kab→~Fx         3-6,CP
     8. Fx→Kab           7,Contra
     9. Ex(Fx→Kab)       9.EG

(三)  1.Ax(Rx→Bx)
      2.Ax((Ax˙Rx)→Dx)
      3.Ax~(Bx←→Dx) /∴~Ex(Ax˙Rx)

      4. Rx→Bx                    1,UI
      5. (Ax˙Rx)→Dx              2,UI
      6. ~(Bx←→Dx)               3,UI
  --> 7. Ax                        AP
  |-> 8. ~~Rx                      AP
  ||  9. Rx                        8,DN
  || 10. Ax‧Rx                    7,9,Conj
  || 11. Dx                        5,10,MP
  || 12. ~((Bx‧Dx)ˇ(~Bx‧~Dx))   6,Equiv
  || 13. ~(Bx‧Dx)‧~(Bx‧~Dx)     12,DeM
  || 14. ~(Bx‧Dx)                 13,Simp
  || 15. Bx                        4,9,MP
  || 16, Bx‧Dx                    15,11,Conj
  || 17. ~(Bx‧Dx)‧(Bx‧Dx)       14,16,Conj
  |----------------------------
  |  18. ~Rx                       8-17,IP
  -----------------------------
     19. Ax→~Rx                   7-18,CP
     20. ~Axˇ~Rx                  19,Impl
     21. ~(Ax‧Rx)                 20,DeM
     22. Ax~(Ax‧Rx)               21,UG
     23. ~Ex(Ax‧Rx)               22,QN

(四)   2 X 2 = 4

       乘法(1): n*1=n
       乘法(2): n*m'=n*m+n

       加法(1): n+1=n'
       加法(2): n+m'=(n+m)'

       2*2=2*1'       (2之定義)
          =2*1+2      (乘法(2))
          =2+2        (乘法(1))
          =2+1'       (2之定義)
          =(2+1)'     (加法(2))
          =(2')'      (加法(1))
          =3'         (3之定義)
          =4          (4之定義)

四.反証15%
(一)1.Ax(Fx→Gx)
    2.Ax(Hx→Gx) /∴Ex(Fx˙Hx)

    D={自然數}

    F:(1)是奇數
    H:(2)是偶數
    G:(3)是自然數


(二)1.AxEyFxy /∴EyAxFxy

    D={自然數}

    F:(1)等於(2)

(三)1.AxFxx→Hab /∴Ax(Fxx→Hab)

    D={實數}

    F:(1)是(2)的倒數
    H:(1)等於(2)
    a: 1
    b: 2

(五)指正錯誤
1.~Ax~(Fx→Hx)     P
2.~(Fx→Hx)        1,UI 錯誤,UI只能開最外面
3.~Ex(Fx→Hx)      2,EG 錯誤,EG只能加在最外面
4.Ex~(Fx→Hx)      3,QN
5.~(Fx→Hx)        4,EI 犯但書,x在2.已經自由過
6.Ax~(Fx→Hx)      5,UG 犯但書,x在5(EI的一行)自由過
7.~(Fx→Hx)        6,UI
8.Ey~(Fy→Hx)      7,EG
9.AxEy~(Fy→Hx)    8,UG 犯但書,x在5(EI的一行)自由過


(六)問答題18%
(一)下一論證
1.P
2.~P /∴ExHx
可以作為自然演繹法的推論法則嗎?為什麼?

可以,因為它是有效論證.

(二)請說明"套套邏輯"與"有效語句"間的關係,並舉例說明.

套套邏輯:在語句邏輯中,沒有前提的有效論證之結論,即為套套邏輯
         (/∴B 為有效論證,其對應句B為套套邏輯)
有效語句:在量化邏輯中,沒有前提的有效論證之結論,即為有效語句

套套邏輯是有效語句的子集合,有效語句包含套套邏輯,反之不然.

/∴ A→A       為有效語句,亦為套套邏輯
/∴ ExPx→ExPx 為有效語句,不為套套邏輯

(三)什麼是(演譯邏輯的)謬誤?請舉例說明.

謬誤:不妥當的論證

舉例: 肯定後件謬誤 1,p→q 2,q /∴ p

1.如果我用功,我就會有好成積
2.我有好成績
/∴ 我用功

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◆ From: 218.35.22.203
※ 編輯: sitos           來自: 218.35.22.203        (06/14 23:39)
推 monotones:指正的QN需改成~Εv(...v...)≡Αv~(...v...)
推 Evis:n:{ 0 , 1 , ... , n }怪怪的...??
推 Evis:Ex(Kx‧Ay(Ky→x=y)‧Bx)這句有少括弧
推 zerorain:還是不懂什麼是自由的~"~
推 shindohikaru:樓上的同學，自由就是沒有E和A在外面
推 zerorain:謝謝喔~~^^