課程名稱︰微積分甲上
課程性質︰必修
課程教師︰李白飛
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2007年11月20日
考試時限（分鐘）：15:20~17:20
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.設c為一實數,函數f(x)定義如下:
sin x, 若x<=c
f(x)=
ax+b, 若x>c
其中a與b為常數.若f(x)在x=c可微分,試求a與b之值(以c表之)(10%)
2. 設f'(4)=3 , g'(4)=7 , g(4)=4 ,而若x=/=4則g(x)=/=4,試求
f(x)-f(4) f[g(x)]-f(4)
(i) lim _________ (5%) (ii)lim ____________ (5%)
x->4 g(x)-4 x->4 x-4
3. 試證方程式x^101 + x^51 + x - 1 = 0 有一正根且僅有此一正根(10%)
(6) (7)
4. 設f(x)= sec x ,試求f (0) 和 f (0)之值(10%)
5. 設r>1為一有理數,試證[(x+y)/2]^r <= (x^r+y^2)/2對所有正數x,y均成立(10%)
6. 試求函數f(x)=x^(2/3) * (1-x)^(1/3)增減之區間,極值之位置(5%),圖形凹凸之區間,
反曲點之位置(5%),以及漸近線(5%),並繪其略圖(5%)
7. 設f(2)=4, f'(2)=-1,且1/2x <= f''(x) <= 1/x 對所有x屬於[2,3]均成立,試估計
f(3)之值(10%)
x
8. 設f(x)唯一連續函數,且∫ f(t)dt = -1/2 + x*sin2x + c*cos2x,其中c為一常數,試
0
求c與f(pi/2)之值(10%)
1 4 4 4
9. 試求lim ___ [1 +3 +...+(2n-1) ]之值(10%)
n->∞n^5
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