[試題] 98上 李白飛 微積分甲上 期末考

[kindependent (認真對待每一枝箭)]

課程名稱︰微積分甲上
課程性質︰數學系大一必修
課程教師︰李白飛
開課學院：
開課系所︰
考試日期（年月日）︰2010/01/14
考試時限（分鐘）：兩個半小時
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）

試題 :

注意:請將計算所得答案整理化簡

             ln x     ln 2
1.試證方程式─── = ───有2正根且僅有2正根。
               x       2

                                                         1
2.試證若x≠0，則arctan(√2 x+1)-arctan(√2 x-1)=arctan(── )。
                                                        x^2


3.試求下列各極限之值：

                tan(πx/2)
  (a)lim   (2-x)^
     x→1

                    1                    1
  (b)lim  ─────────── - ──────
     x→0  √[ln( x + √(1+x^2)]     √ln(1+x)


                          1                 1
4.(a)設m與n為正整數，試證∫ x^m (1-x)^n dx=∫ x^n (1-x)^m dx。
                          0                 0
          1
  (b)試求∫ x^2 (1-x)^8 dx之值。
          0

                    1
5.設n為正整數，試求∫(1-x^2)^n dx之值。
                    0

                      1                 1                      1
6.試求極限lim  (─────── + ─────── +...+ ────────)之值。
          n→∞  √[n^2 + 1^2]    √[n^2 + 2^2]        √[n^2 + n^2]


7.考慮一頂角為2α，夾邊為a之扇形，其中a>0，0<a<π。

  (a)試求其形心與頂點之距離，並求當α→0時此距離之極限。

  (b)若將此扇形繞其頂角平分線旋轉，試求所得立體之體積。

8.試求曲線x=ln(1+t^2)，y=2arctan t，0≦t≦1，之弧長。

9.試求蚶線r=1+2cosθ內外圈之間的面積。

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→ kindependent:被當掉了...
推 ooo0330     :無言