課程名稱︰ 隨機程序及應用
課程教師︰ 呂明彖
開課學院： 電機資訊學院
開課系所︰ 電機系所
考試日期（年月日）︰2007/6/26
考試時限（分鐘）： 100 min
是否需發放獎勵金： yes
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
一. 設{B(t), t>=0}為standard Brownian Motion process, 再設
t
X(t)=σB(t)+μt, 其中σ>0,現定義 Z(t) = ∫ X(s)ds
0
(a)試求Z(t)之mean E[Z(t)]及covariance Cov[Z(s), Z(t)], for 0<=s<=t
(b)試求{Z(t), t>=0}之one dimensional probability density function f(z;t)
二. 設{X(t), t屬於T}為一wide sense stationary process, 並定義其Autocorrelation
function為Rxx(τ)=E[X(t)X(t+τ)]
(a)請敘說Rxx(τ)應具有之數學函數上之特性
(b) 試舉出Rxx(τ)之兩個實例
三. (A k-out-of-M system with maintainance)
設一系統含M個獨立且相同之機台,每機台之壽命分配均呈exponential distribution
with rate λ. 又此系統還有一個獨立之修理組,其修復時間亦呈exponential
distribution with rate μ. 要維持此系統正常運轉需要至少K個(含)機台以上能個
別正常,機台遇故障時立即送修理組,故障總數達M-k+1時,系統暫全面停轉,靜待新完成
修復機台加入後再運轉, 設X(t)代表t時間點時,故障機台總數並定義
Pn(t) = P[X(t) = n]
(a) 說明lim Pn(t) = Pn 存在之理由 ,並說明最大之n應為何?
n->∞
(b) 解出P0, P1, ...至最大之Pn
(c) 在穩定狀態下,求其平均故障機台數及系統"暫停狀態"之時間比
四. 設X(t) = Xo(-1)^N(t), 其中N(t)為regular homogeneous Poisson process with
intensity λ. Random variable Xo與N(t)為independent且 P[Xo=1]=P[Xo=-1]=1/2
(a) 試求P[X(t) = ±1] 及 P[X(t1) = ±1, X(t2)= ±1] for 0<=t1<=t2
(b) 試求Cov[X(t1), X(t2)] for 0<=t1<=t2
(c) 由(a),(b) 之結果討論X(t)在stationarity上之屬性
五. 飛機有四具獨立且相同的引擎,其壽命分配均為f(t) = λe^{-λt}, λ>0
要維持安全飛行須至少2具(含)以上之引擎無故障
~
(a) 求此飛機之reliability function r(F(t))
(b) 飛機之平均壽命
(c) 若安全條件趨嚴,改為左右兩側都要至少一具(含)以上之正常引擎,則新的
relibility function及平均壽命各為如何?
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