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課程名稱︰微分方程
課程性質︰系訂必修
課程教師︰管傑雄
開課學院：電資學院
開課系所︰電機系
考試日期（年月日）︰2009/01/14
考試時限（分鐘）：180
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1. 求出下列圖形曲線的 Laplace transform 。(15%)
f(t)
│
6├ ──
│
5├ ──
│
4├ ──
│
3├ ──
│
2├ ──
│
1├──
│
┼──┴─┴─┴─┴─┴─┴─ t
1 2 3 4 5 6
PS.圖形一直到無限大
2. 考慮求解下列方程式
xy"+2xy'-4y=0
(a)請先求出y(0)的值。(5%)
(b)接著利用 Laplace transform 求出 Y(s)及相對應的 y(x)。(10%)
(c)利用上一小題的解求出第二個獨立解，並據出說明 Laplace transform
為什麼只能找到一個獨立解。(10%)
3. 求解下列微分方程式組的通解
(D-2)x + (D-3)y - 11z = 0
(D-2)x - y + (D-8)z = 0
(D-2)x + (D-3)y + (D-13)z = 0
請先將方程組改為一階的 normal form 後求解。(15%)
4. 有關 Fourier series 的問題 :
(a)求出下列函數的 Fourier series。(10%)
f(x)= π^2 , -π < x < 0
π^2 - x^2 , 0 ≦ x ﹤π
(b)利用上一小題的結果求出下列兩級數之值。(5%)
∞ (-1)^(n+1) ∞ 1
Σ ────── and Σ ───
n=1 n^2 n=1 n^2
5.考慮求解 Laplace equation,
uxx + uyy = 0 0 < x < a, y > 0
PS. ux(u對x偏微)
subject to u(0,y) = 0, u(a,y) =exp(-βy), and u(x,0) = V
where a, β and V are constants.
(a)請選擇適當 Fourier integral 求解該偏微分方程式。(15%)
(b)如果邊界條件只有
u(0,y) = 0, u(a,y) = exp(-βy) 及 u(z,∞) = 0
請找出一個 particular solution up(x,y) = X(x)exp(-βy)
是符合上述邊界條件，亦即找出 X(x)。(5%)
(c)接上一小題，符合該邊界條件的通解應為 u(x,y) = uc(x,y) + up(x,y)
其中的 uc(x,y) 應符合的邊界條件為
u(0,y) = 0, u(a,y) = 0 及 u(z,∞) = 0
即為邊界條件的 complementary function。 請求出此function 。(5%)
(d)將上一小題的 u(x,y) = uc(x,y) + up(x,y) 符合最後一個邊界條件
u(x,0) = V
請由此找出 complementary function 中的未之係數值，並得到最後的解。
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