推 whaleswin16 :農化系已收 06/30 22:39
課程名稱︰微積分乙
課程性質︰必修/可兼通識A6
課程教師︰陳宜良
開課學院：
開課系所︰生命科學系etc
考試日期（年月日）︰99/06/22
考試時限（分鐘）：110
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.解人口的logistic模型 P'=λP(M-P),P(0) = P0,λ> 0,M > 0 且 0 < P0 < M。(10%)
2.(1)人體中製造並代謝糖分,通常會維持在一個均衡的血糖濃度σ,如果注射葡萄糖
則血液中血糖濃度 G(t)+σ 會遵循 G'(t) = -λG(t),λ是一個與人體代謝排出糖份
有關的常數 λ>0,請解出此方程式,並說明血糖會恢復到均衡濃度σ。(5%)
(2)如果打點滴,連續注入葡萄糖,則血液濃度與葡萄糖注入速度μ和上述體內代謝有關
係如下 G'(t) = μ-λG(t),解出此方程式,並求出血糖的新均衡濃度。(5%)
(3)說明怎麼利用(2)來提高低血糖患者中之血糖濃度。(5%)
3.解 y'= ( 1 + y^2 ) ｅ^t。(10%)
4.關於興建核電廠的意見,贊成的比例是2/5,反對的比例是1/2,無意見的比例是1/10。
(1)求訪談5人,有1人贊成、2人反對、2人無意見的機率。(7%)
(2)令Χi表示訪談第i人的隨機變數,且Χi=1贊成;Χi=0無意見;Χi=-1反對,
令Ζ=Χ1 + Χ2 + Χ3 + Χ4,計算 P(Ζ= k),其中 k = 0,...,3。(8%)
5.若Χi~Χ,i = 1,2,...,n 且Χi彼此獨立,設Ε(Χ) = μ ,Var(Χ) = σ^2,
n i=n ˍ 2
ΣΧi Σ( Χi－Χ )
ˍ i=1 i=1
定義隨機變數:Χ≡──── , S≡────────
n n
ˍ ˍ σ^2 n－1
證明:Ε(Χ) = μ,Var(Χ) = ───, Ε(S) = ───σ^2 。 (15%)
n n
∞
6.定義Γ(α) = ∫ χ^(α-1)ｅ^-χ dχ,α>0
0
(1)證明Γ(n) = ( n － 1 )！, n屬於Ν。(5%)
(2)證明Γ(1/2) = π^1/2。(5%)
7.若X,Y為獨立隨機變數並都遵守指數分配,λe^-λt,t>0。令Ζ= X+Y,求fz(t)。(10%)
8.敘述並証明柴比雪夫不等式。(10%)
9.Χ~Β(n,p,q)求Ε(Χ),Var(Χ)。(10%)
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