[試題] 99下 陳文進 工程數學 期中考

[edwardhw (我是大黃)]

課程名稱︰工程數學
課程性質︰選修
課程教師︰陳文進
開課學院：電資
開課系所︰資工
考試日期（年月日）︰2011/05/02
考試時限（分鐘）：170
是否需發放獎勵金：是!
（如未明確表示，則不予發放）

試題 :


(1) (10%) 曲線r(s)以弧長s為參數, r'=dr/ds, 求證 (r', r'', r''') = κ^2 τ.


(2) (15%) 求曲線 r(t) = [acost, asint, bt] 在 t = 0 點之T(tangent), N(normal),

          B(binormal), κ(curvature), τ(torsion), 及密接(osculation)平面方程式.


(3) (10%) 在曲面 xyz = 1 上, 求平行於平面 x + y + z - 5 = 0 之切平面方程式.


(4) (15%) 曲面S: r(u, v) = [u + v, u - v, 2uv] (u, v為實數)

          (i) 當曲面參數 u = v 時, 求曲線 u = 0 到 u = 1 間的弧長.

          (ii) 求曲面上, u^2 + v^2 ≦ 4 所定義之區域的面積.


(5) (15%) f(x y) = xy

          (i) 試證 f 在點 (a b) 可微分, 並求其微分 Df(a b).

          (ii) 利用(i)之結果, 求曲面 z = xy 在點 (2, 1, 2) 之切平面.

          (iii) 利用 gradient 之方法, 重作(ii).


(6) (10%) 求 ∫sin(x^2)dxdy, 區域 D 為(0, 0), (1, 0), (1, 1)三點所圍成的三角形.
              D


(7) (10%) 求∫∫(z^2 - y)dzdx + (x^2 - z)dxdy,
              S

          其中 S 為 旋轉面 z = 1 - x^2 - y^2 在 0≦z≦1 部分的外側.


(8) (15%) F(x, y, z) = [x^2 - yz, y^2 - zx, z^2 - xy]

          (i) 是否存在 f(x, y, z) 使得 F(x, y, z) = ▽f(x, y, z) ?

          (ii) 若(i)為是, f(x, y, z) = ?

          (iii) 求 ∫(x^2 - yz)dx + (y^2 - zx)dy + (z^2 - xy)dz,
                    C

                其中 C: r(t) = [acost, asint, bt], 0≦t≦2π





# 有用公式: ∫(a^2 + u^2)^1/2 du

             = u/2 * (a^2 + u^2)^1/2 + a^2 /2 * ㏑(u + (a^2 + u^2)^1/2) + C



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