課程名稱︰統計學上
課程性質︰生傳系大二必修
課程教師︰陳玉華
開課學院：生農學院
開課系所︰生傳系
考試日期（年月日）︰98/01/12
考試時限（分鐘）：180分鐘
是否需發放獎勵金：是
考試注意事項：
1.需要計算的題目請列出公式、計算過程，數值請四捨五入至小數點後兩位。
2.有問題請趕快舉手問助教。考試期間嚴禁交談與撥接手機，違者0分計算。
3.有需要洗手間者請自行前往，並速回教室應考。
試題：
1. (10%) 請簡要說明以下定理與概念：
(a) 何謂中央極限定理(Central Limit Theorey)？這個定理與常態分配有何關係？
(b) 何謂間斷隨機變數(Discrete Rondom Variable)？試舉出常見的例子。這一類型的
隨機變數與二項分配有何關係？
2. (15%) 原住民委員會主委想了解中壯年原住民的收入情況，要求原民會的企畫處規
劃一項抽樣調查，並藉由分層隨機抽樣方式抽選樣本，該抽樣調查最終訪問1024位
年齡在35至50歲的原住民。剛好你在原民會企劃處實習，所以被找來幫忙分析資料。
樣本資料顯示中壯年原住民每月平均所得約38000元。假定中壯年原住民母體的月
所得標準差大約為3200元。請回答下列問題：
(a) 分別以90%與95%的信心水準，估計臺灣地區中壯年原住民每月平均所得的信賴區間
(b) 估計完成後，你會建議企劃處專員以哪一個數據向主委報告目前的現況？
請仔細說明你的理由。
(c) 由於原民會主委想在行政院報告時可以號稱有99%的信心，並想控制邊際誤差
(margin of error)約在100元，所以他要求企劃處重新做一次抽樣調查。
那麼新的調查要訪問多少位中壯年原住民才能達到主委的要求？
3. (10%) 根據臺灣疾病統計資料顯示，一般人得到AIDS的機率為0.03，性病防治中心
剛推出一項AIDS的檢驗方法，若受檢人已經感染AIDS，該方法能正確驗出AIDS的機率
為0.9。但是沒有感染AIDS，卻被驗出感染的機率為0.02。假如某人的檢驗報告結果
顯示已經感染了AIDS，請問這個人真正感染到AIDS的機率為何？
4. (10%) 假如F4共同投資一家卡拉OK店，根據去年營收紀錄平均每日收入為20000元，
標準差為3000元。由於言承旭個人太紅沒時間照顧這家店，因此其他三人負責所有
營運記帳工作。某日言承旭沒有任何通告因此決定到店裡看看，他卻發現生意冷清，
他擔心其他人會把生意搞垮卻隱瞞他，因此他找一個內線服務生，暗中進行一項
抽樣調查以了解事實。服務生隨機紀錄36天的單日營運收入，並發現平均日收入為
12000元。你覺得根據這個暗中調查的結果，言承旭能否說服其他三人關閉卡拉OK店
以避免血本無歸的結局？
5. (15%) 小朱助教在Facebook做「今天最有可能發生什麼事」的心理測驗，結果指出
他今天最有可能中大樂透頭獎。於是小朱助教興沖沖地到投注站買了一張50元隨機
選號的大樂透想碰碰運氣。大樂透的遊戲方式為投注者需從01~49的連續號碼中任選
六個號碼。開獎時，開獎單位會隨機開出6個號碼加上1個特別號，這一組號碼稱為
「獎號」。以下是各獎項中獎的方式：
獎項 中獎方式
頭獎 與當期六個獎號完全相同者
貳獎 對中當其獎號之任五碼+特別號
參獎 對中當期獎號之任五碼
肆獎 對中當期獎號之任四碼+特別號
伍獎 對中當期獎號之任四碼
陸獎 NT $1,000 對中當期獎號之任三碼+特別號
普獎 NT $400 對中當期獎號之任三碼
請根據以上遊戲辦法回答下列問題：
(a) 小朱助教得到頭獎的機率為何？
(b) 小朱助教得到二獎的機率為何？
(c) 小朱助教僅贏得400元的機率又為何？
6. (10%) 2000年的農業普查顯示臺灣全部農業人口的平均年齡為47.5歲，其標準差為
13歲，現任農委會主委認為目前臺灣農業人口應該更加老化，為了證明這個趨勢，
他要求農委會的統計處進行一項抽樣調查來證實他的觀點。統計處的技正利用簡單
隨機抽樣在臺灣地區抽出100位農民，計算出目前的平均年齡為50歲，標準差為11.5
歲。請問：
(a) 使用1%的顯著水準，根據上述資料進行假設檢定。
(b) 根據你的假設以及檢定的結果，你認為農委會主委的看法是否得到這個樣本資料
的支持？請用你的話說明解釋假設檢定的結果。
7. (15%) 當n很大時採用二項分配計算繁瑣，因此只要事件發生的機率不是很微小的
情況下可以採用常態分配的機率計算方式予以取代。根據臺灣地區生命統計顯示
臺灣地區新生兒能活過60歲的機率為0.8，假設現在抽出500個嬰兒。請問：
(a) 剛好有390個嬰兒未來能活過60歲的機率為何？
(b) 約有375~425個嬰兒能活過60歲的機率。
註：請同時列出兩種分配方法的計算過程(二項分配最後計算之答案可省略)
8. (15%) 根據2005年至2007年的基金表現資料，NTU基金的年平均報酬率為6%，標準差
為3.1%；BICD基金的年平均報酬率為12.8%，標準差為18.9%。這兩個基金的表現互有
消長，據估計其相關係數為-0.12。陳老師經過仔細考量後，在2008年元旦決定將她
僅有的100萬元投資在這兩個基金，他將30%的錢投資在NTU基金，另外70%的錢投資在
BICD基金。請問：
(a) 2008年投資開始之時，陳老師可以預期這個投資組合的年平均報酬率大約多少？
標準差為何？
(b) 假如陳老師有耐心長期持有這投資組合，20年之後她的年平均報酬率可能會小於5%
的機率為何？
(c) 可是陳老師的運氣真的很糟，投資半年後馬上遇到金融風暴，不過她還是做夢認為
很快就會變好，直到2009年底股市大漲，陳老師決定把這兩年的這個投資基金組合
全部賣掉。根據這個基金組合的實際表現，在2008年與2009年的年平均報酬率分別
為12%與6%。請算出陳老師最後只拿多少錢回來？
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