推 dreamseeker1:這竟然是微乙...orz 01/25 11:01
課程名稱︰微積分乙上
課程性質︰必修
課程教師︰史英
開課學院：
開課系所︰醫學院各系、生科、農化、公衛
考試日期（年月日）︰1/16/07
考試時限（分鐘）：120分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.設曲線以極座標r=r(θ)表示，而( )'代表對θ微分，試導出：(20分)
2 2
2(r') +r -r×r''
曲率κ=------------------
2 2 3/2
[(r') +r ]
[提示：計算中要用到以dr/dθ、ds/dθ表出φ的三角函數，
可以從曲線上dθ所造成的小三角形得到；前述的φ，代表切線與向徑的夾角。]
2
2.設有拋物線y=x
a.求其在原點的曲率圓；(7分)
b.判斷在原點附近，這拋物線是在其曲率圓之外，或之內？並述理由；(7分)
2
c.試對y=x 這個函數做適當修改，以改變「b.」的判斷結果。(7分)
(將之內變成之外，或反之)
3.試依下列步驟證明泰勒定理，假設f在a附近n+1次可微分
(n)
f (a) n
a.令g(a)=f(a)+f'(a)(x-a)+......+-------(x-a) ，計算g'(a)；(7分)
n!
[將x視為常數，對a微分]
n+1
b.令h(a)=(x-a) ，
並對h(a)和g(a)應用Cauchy's Mean Value Theorem；(7分)
c.整理「b.」的結果，
導出f(x)可以寫成其n次泰勒多項式及餘項(remainder)之和。(6分)
4.關於展開成無窮級數，請完成以下二小題
x x
a.利用泰勒定理寫出函數e 的無窮級數展開式，並證明該無窮級數之和確實為e 。
(10分)
b.試舉一個無窮多次可微分的函數，它不能展開為無窮泰勒級數。
-1/x^2
[提示：考慮e 。](10分)
5.關於極限的存在，請完成以下兩小題
a.設當x→a時，f(x)的極限「存在」，證明：對於每一正數ε，必存在有正數δ，
使得 0<|x-a|<δ 且 0<|y-a|<δ => |f(x)-f(y)|<ε(8分)
b.利用「a.」証明：x→0，f(x)=sin(1/x)的極限不存在。(7分)
6.若f(x)滿足「存在δ>0，對於所有ε>0，0<|x-2|<δ => |f(x)-3|<ε」這個條件，
那麼它會是怎樣的一個函數？
可以從前述條件推得關於f(2)的消息嗎？ 何故？(15分)
7.有任何拿手的題目沒被問到嗎？自出一題自解之。
(題目必須與本課程有關，而其難易度也列入評分) (10分)
[本考卷共120分，得分超過100分者以100分計，可以自由作答。
(任一題的部分答對的分數都算)]
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