課程名稱︰微積分乙下
課程性質︰必修
課程教師︰史英
開課學院：
開課系所︰醫學院各系、生科、農化、公衛
考試日期（年月日）︰2007.06.26
考試時限（分鐘）：120分鐘
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.以下二敘述都可以由定義推導出來，請說明所引用的定義的內容
(例如，數列和級數收斂的定義，子列的定義等等)，並証明之：
a.一個數列如果收斂，它的任一子列也會收斂到同一極限[8分]
b.一個級數如果收斂，那麼，在其中任意插入括號後的新數列，也會收斂到同樣的和
[7分]
2.關於線積分和重積分的關係:
a.請完整敘述Green's Theorem(不必証明)[8分]
b.利用前項定理，計算∫∫(x-y)dxdy
A
A是以(0,0)和(1,0)和(0,1)為頂點的三角行內部(請勿直接計算重積分之值)[12分]
3.關於gradient
a.運用Dvf=▽f˙v，証明：▽f˙er=σf/σr，▽f˙eθ=(1/r)(σf/σθ)
其中er=(cosθ,sinθ)，eθ=(-sinθ,cosθ)
分別為指向r和θ方向的單位向量[10分]
b.將▽f用er和eθ表示，並述理由[5分]
c.運用前項，計算▽θ[說明:極座標θ當然是x,y的函數，正如f是x,y的函數一樣
，但有前項公式，我們可以不必回到直角座標用對x和y的偏微分來求梯度][5分]
d.試從梯度的意義解釋前項的結果[5分]
4.設f(x,y)=x sin(xy^2)
a.求z=f(x,y)在原點的切平面方程式[5分]
b.請說明一般"用二次微分來判斷極值"的方法，並說明要用在判斷這個f是否在原點
發生極值，是失敗的[5分]
c.利用sin t = t - t^3/3! + ......，將f展開至四次項及o(r^4)，
並說明何以四次以上的項都是o(r^4)[7分]
d.利用前項說明f在原點發生極小值，並証明何以小零部分可以忽略不計[8分]
5.求f(x,y)=x^2 + xy + y^2在 x^2+y^2≦4這個範圍內的最大最小值[15分]
6.請表演一題(限本次範圍，不排除習題，題目難易計入評分)[20分]
[滿分為100分，超過者以100分計]
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