課程名稱︰微積分乙下
課程性質︰共必修
課程教師︰蔡聰明
開課學院：醫農生科公衛
開課系所︰
考試日期（年月日）︰2010/06/22
考試時限（分鐘）：120
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.判斷以下無窮級數的斂散： (15分)
∞ n ∞ 10^n
(i) Σ (-1)^n────── (ii) Σ ──────
n=2 ㏑n n=1 (n+1)4^2n+1
∞ n^2+1
(iii) Σ (──────)^n
n=1 2n^2+1
∞ x^n
2.(i)證明： Σ ───── 對所有的實數x都收斂。 (5分)
n=0 n！
x^n
(ii)再證明： lim ───── = 0, 對於所有 x 屬於 R. (5分)
n→∞ n！
3.求算下列函數的一階偏微分： (20分)
x
(i) f(x,y) = xe^y/x (ii) g(x,y) = ∫ cos(t^2) dt
y
dz dz
4.設 z = x^2y^3 , x = scost , y = ssint ， 求 ── 與 ── 。 (20分)
ds dt
_______
1 4 3 2√(9-x^2)
5.求積分：(i)∫(∫ e^x^2 dx)dy ， (ii)∫ ∫ sin(x^2+y^2)dydx。 (20分)
0 4y -3 0
∞ __ ∞
6.已知∫ e^-x^2dx = √π/2 ， 求機率積分：∫ x^2e^-x^2 dx。 (20分)
0 0
7.求曲線積分 ∮ (e^x-x^2y)dx + (e^y+xy^2)dy ， 其中C為圓 x^2+y^2 = 25。 (15分)
c
8.近代科學之父伽利略(Galileo)說：「自然之書是用數學語言寫成的，不懂數學就讀
不懂這本無字天書。」他利用數學與「假說─演繹─實驗法」來研究「自由落體」的
運動現象，揭開運動現象之謎，也打開近代科學之門。請你論述他的研究過程。(注：
伽利略的時代還沒有微積分，你可以使用微積分來論述。數學作文要精簡扼要、把握
重點，條理井然，層次分明。) (20分)
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