[試題] 99上 蔡聰明 微積分乙上 期末考

[Lucasq (生活還是要過)]

課程名稱︰微積分乙上
課程性質︰必修
課程教師︰蔡聰明
開課學院：
開課系所︰藥學、農化、物治、醫技、生科、公衛、職治、牙醫
考試日期（年月日）︰100/01/11
考試時限（分鐘）：110
是否需發放獎勵金：是

試題 : (共110分)

1.求下列函數的導函數 dy/dx ：  (20分)

          3
  (1) y = √[(x^2 - 2x) / (x^2 + 1)]

  (2) lny = e^x ‧ sinx

  (3) y = x^3 ‧ (lnx)^2

  (4) y = (cosx)^x


2.利用L'Hopital規則求下列極限： (10分)

  (1) lim (lnx)^(1/x)
     x→∞

          x^2 - sin^2(x)
  (2) lim ──────
     x→0      x^4



           lnx
3.設f(x)= ───, x>0         (20分)
            x

  (i)求最大值   (ii)證明 e^π > π^e



4.假設 f'(x) = 0 , 對所有 x 屬於 (a,b)
  證明: f(x) = C , 對所有 x 屬於 (a,b), 其中C為一個常數。 (10分)


5.甲乙兩人賽跑，同時出發且同時抵達終點，中間的過程互有快慢。試證
  必存在有某個時刻，兩人具有相同的速度。令f(t)與g(t)分別表示兩人
  在 t時刻的位置，t屬於[a,b]，並且假設他們皆為可微分函數。(10分)


6.用鐵皮製作圓柱罐頭，在容積固定下，使其最省材料，求罐頭的尺寸。
  (10分)

7.設 y = f(x) = 2x - 3x^(2/3)。 求遞增與遞減的範圍、極值、凹口向
  上與凹口向下的範圍、反曲點，並且作出函數圖形。  (30分)

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