課程名稱︰電磁學
課程性質︰物理系必修
課程教師︰曹培熙
開課學院：理學院
開課系所︰物理學系
考試時間︰11/20/2006
是否需發放獎勵金：免
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1.設R≡r-r'(向量)，r為場點(field point)的位置向量，r'為源點(source point)的位置
向量，▽為對場點座標微分的del算符(del operator)，▽'為對源點座標微分的del算符
，求：
(a)▽(1/R)及▽'(1/R) (此R為純量) (6%)
(b)▽‧(R/R^3)及▽'‧(R/R^3) (6%)
(c)▽X(R/R^3)及▽'X(R/R^3) (6%)
(d)說明以上三個對場點微分的計算與靜電場性質的關係 (6%)
(e)舉例說明需要對源點微分的情況 (6%)
2.考慮一個任意形狀的封閉面，
(a)設r的原點在此面內，求∮(r/r^3)‧da (6%)
(b)設r的原點在此面外，求∮(r/r^3)‧da (6%)
(c)說明上列積分與靜電場性質的關係 (6%)
(d)說明上列積分與第一題的關係 (6%)
3.將點電荷q從無窮遠處移到半徑為R的金屬球外，距球心為a處，該球原先未帶電。考慮靜
電平衡的狀況：
(a)設此球與外界絕緣，定性地(qualitatively)以電力線表示點電荷附近與球面附近的
電場，以及感應電荷分布。 (6%)
(b)設此球接地，畫出與a小題相似的圖 (6%)
(c)寫出b小題的狀況之電位V所遵從的偏微分方程式，以及邊界條件 (6%)
(d)證明：設在距球心為R^2/a處置另一點電荷，其電量為-qR/a，則此電荷與原來的電荷
造成之電廠，就球外空間而言，具有相同的邊界條件，也滿足相同的偏微分方程式
(8%)
(e)做一些計算，說明d小題所設的另一點電荷的物理意義。(若時間不夠，寫出要點即可
，不用寫出完整的推導) (8%)
4.(a)簡要說明Helmholtz定理的內容及意義 (6%)
(b)以變數分離法(separation of variables)解二維Laplace方程式時，如何判斷((d^2)
X/dx^2)/X=-((d^2)Y/dy^2)/Y=C的常數C為正數或負數？舉例說明之 (6%)
參考公式：▽‧A及▽XA
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