[試題] 楊維哲 94上 微積分優 期末考

[chwan1 (小V)]

課程名稱︰微積分優
課程性質︰
課程教師︰楊維哲
開課系所︰
考試時間︰2006/1/7

試題 :

1.自律系(只要選擇a,b兩者之一)
  [a]  (Logically speaking!假定沒有學過雙曲餘弦正弦，以及指數函數!)
       模仿講義，先用微分方程的解去定義兩個函數cosh,sinh,再類推其他!
       注意到：沒有週期性!而'值點(無窮)長壽'：

                       ξ     _____
       對於ξ>1,瑕積分∫ dx/√x^2-1 存在,而且
                       1

                       ξ     _____
                  lim ∫ dx/√x^2-1 = ∞;
               ξ↑∞  1

                       η     _____
       對於η>0,積分  ∫ dy/√y^2+1 存在,而且
                       0

                       η     _____
                  lim ∫ dy/√y^2+1 = ∞;
               η↑∞  0


  [b]  (Logically speaking!假定沒有學過三角函數!)
       模仿講義，先用微分方程的解去定義兩個函數sec,tan,再類推其他!
       注意到：沒有週期性!而'值點夭壽'：

                       ξ      _____
       對於ξ>1,瑕積分∫ dx/x√x^2-1 存在,而且
                       1

                       ξ      _____
                  lim ∫ dx/x√x^2-1 = T< ∞;
               ξ↑∞  1

                       η
       對於η>0,積分  ∫ dy/(y^2+1) 存在,而且
                       0

                       η
                  lim ∫ dy/(y^2+1) = T< ∞;
               η↑∞  0


2.縮閉線(試求以下甲乙兩曲線之縮閉線,即曲率中心之軌跡):
  [甲]曲線y = f(x) ,若令p = dy/dx, 則有:

                            dy/dx = p;
                                      _____
                            dp/dx = √1+p^2 ;

                    x = 0時  y = 1 , p = 0 ;


  [乙]曲線乙參數方程表示

                            dx/dt = (1-y^2)/y ;
                                       _____
                            dy/dt = -√1-y^2 ;

                    t = 0時  x = 0 , y = 1 ;

  証明乙的縮閉線為甲。


3.包絡線 [注意]若有做上節的甲乙,就不用作此節!
  求曲線族Γ    的包絡線!(任選丙丁戊之一!)
           θ

  丙. 擺線:  x=θ-sin(θ) ,y= 1-cos(θ) ,上之動點,與彼時之圓心(θ,1)之連線Γ

  丁. 拋物線
             Γ: x(t) = t*cos(θ) ,y(t) = t*sin(θ)-gt^2/2 .

  戊. 星形線 x=cos^3(θ) ,y=sin^3(θ)=1 的法線Γ (po者註 題目似乎有問題)


4.階乘
          n
  求I  =∫ log(x) dx. 再等分區間為n-1段,計算梯形法近似積分值J  ,並問何者較大?
     n   1                                                   n


5.其他
  A.簡單說明你的缺課狀況.(若缺考有特別的理由,請註明!)
  B.寫下三個分數:Wish,Hope,Expect.
  C.寫下對於本課程的感想與(尤其)建議.
※ 編輯: chwan1          來自: 140.112.240.8        (01/07 13:09)
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→ chwan1:對了 考試的時候可以帶自己需要的公式 限一張A4大小
→ chwan1:另外 可以看老師當天發的講義作答
推 hectorhsu:等學期成績出來之後可以說一下狀況嗎＠＠
推 kira925:話說...題目的3雖然說選一，可是教授說要寫兩個歐
→ hcsoso:3戊的確有問題，若以參變函數表示 則沒有 "= 1" ！
※ 編輯: chwan1          來自: 140.112.240.8        (01/08 16:04)