推 AGAU415:果然是楊的風格!!! 01/21 02:15
課程名稱︰微積分優
課程性質︰
課程教師︰楊維哲
開課學院：
開課系所︰
考試日期（年月日）︰96.1.17
考試時限（分鐘）：兩小時半
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
§A 遞迴公式
π/2
計算 ∫ (sinθ)^n dθ
0
§B 心臟線
用極做標x = r*cosθ,y = r*sinθ,則心臟線的方程式是：
r = 1 + cosθ;
B1.畫個簡圖！
B2.在θ = 0處的曲率半徑為何？換言之：曲率圓為何？
B3.其全長2L為何？
B4.全圈所圍的面積2A為何？
B5.考慮θ屬於[0..π]的這半段弧，求其質心的y座標y1
B6.此曲線繞x軸迴轉，求迴轉面的表面積。
B7.考慮上述半段弧與x軸之間的區域，求其質心的y座標y2
B8.求迴轉體的體積。
§C 星形線
參數式是x = (cosθ)^3, y = (sinθ)^3;
C1.求其在各點的法線Γ(θ)
C2.若有一曲線族（Γ(θ):θ屬於I），（意思是：對每個參數θ屬於I，就有一條曲線
Γ(θ)）'無限鄰近的兩題曲線Γ(θ),Γ(θ+dθ)之交點的軌跡'，就是此曲線族的
包絡線！試就上述星形線的法線族（Γ(θ),θ屬於[0..2π]），證明：
其包絡線，形狀也相似，但轉了45度
§D 極值
在線段x = 0 = y, a < z < c-b 上，求一點(0,0,z)，使得：自其處發出的光，照射到兩
球x^2 + y^2 + z^2 = a^2 , x^2 + y^2 + (z-c)^2 = b^2面上的面積之和最大；
( 0 < a, 0 < b, a+b < c ）
§E 其他
Eα.簡單說明你的缺課狀況（若缺考有特別的理由，請註明！）
Eβ.寫下三個分數：Wish(喜出望外)，Hope(樂觀些)，Expect(合理估計)，
如果你認為：'我準備的題材，都沒有考到，應該再考我一次！'，請寫下：
(手機)電話，準備的題材；
Eγ.寫下對於本課程的感想與（尤其）建議
Eδ.把你的A4紙（備忘錄）也寫上姓名，夾在答案卷中！
另加考一張小考考過的考卷 因為很多人沒考到，有考到的只要寫一題(各人分別指定題號)
1.假設有兩數列(x_i,i=1..N),(y_i,i=1..N)，其中諸x_i都不相等，於是存在唯一的一個
多項式函數f(x):=Σ c_k x^k，使得：f(x_i)=y_i，for any i=1,2,...,N。這是
0≦k<N
Lagrange的多項式函數插值(interpolation)定理！Gauss的多項式函數適配(best-fit)
m
定理是說：對於固定的m<N，（通常m<<N，）可以選擇多項式f(x):=Σ c_k x^k，（亦
k=0
即：選係數c_0,c_1,...,c_m)使得：
N
Φ(c):=Σ(f(x_i)-y_i)^2
i=1
為最小！(此即最小平方法！)試寫出c_k
2.有圖：正三角形DEF內接一個三角形ABC，C在DE上，B在DF上，A在EF上
如圖有三角形ABC,及三角形DEF，後者是前者的外接三角形；今固定三角形ABC，（兩邊
__ __
一夾角：AB = c, CA = b, ∠A=∠CAB）求其'外接正三角形'之極大面積者
換句話說，θ=∠CAE必須滿足甚麼樣的方程式？
代以b=7, c=5, ∠A=50度；cos(10度)=0.9848, sin(10度)=0.17365，你能算出tanθ?
3.以點A = (1,0) 為心，r<1為半徑，畫一圓，他在單位圓x^2+y^2=1的內部的那段弧長
要極大，則r=?
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