課程名稱︰微積分優
課程性質︰選修
課程教師︰楊維哲
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2007.5.19
考試時限（分鐘）：60
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
【註:分辨主僕】是你在使用記號,不是你被記號混淆了!(向量(場),我們
→
在黑板上可以用有色粉筆!)你可以用x 表示向徑(我用X = ix +iy+kz,你
→ → → →
用)x = xi +yi +zk .為何用同一個x? '不方便'其實是一種方便!因為,
→ → → →
我們同樣地使用:u =ui +vj +wk .觀念上是一種節約.
【極座標】平面極座標是把(x,y)變成(r,ψ),其中:
x=r*cos(ψ),y=r*sin(ψ);
在座標紙,(r,ψ)只是'半無限長條':
r＞0,ψ屬於[0..2*π),(其實ψ屬於R(mod2π).)
圓柱座標系(r,ψ,z)只是多了第三維的z;
球座標系(r,θ,ψ)是'連用兩次極座標的想法'!
先寫:x=u*cos(ψ),y=sin(ψ);因此 u＞0
然後,在(z,u)的上半平面上,再來寫: z = r*cos(θ), u=r*sin(θ);
因此r＞0,π＞0;
我不是把≧寫錯為＞,是因為:等號是'例外','奇異之處'!
【球極座標的Δ算子】要領是: (因為bbs打不出來,只好用倒過來的三角形)
●寫出
→ → → →
x = i *r*sin(θ)cos(ψ)+j *r*sin(θ)sin(ψ)+k rcos(θ)
●然後計算:
→ → →
→ σx σx σx
ur = --- , uθ = --- , uψ = --- ; (找不到偏微分的記號,用σ代替)
σr σθ σψ
●你要對它們實施Gram-Shmidt操作!(騙你的啦!)
你要驗證它們是正交(=垂直)的!然後,將它們'規範化'!
若它們的長度是hr,hθ,hψ,則得到單位向量:
→ → → ￣￣
→ ur → uθ → uψ
er= --,eθ= -- , eψ= -- ,
hr hθ hψ
這就寫出:(微分的有向線段)
→ → → → →
dl = dx = erhrdr + eθhθdθ + eψhψdψ;
●那麼:(微分的有向面積)
→ → → →
dA = erhθdθhψdψ+eθhψdψhrdr+eψhrdrhθdθ;
(微分的有號體積)
dV = hrdrhθdθhψdψ;
→ → → →
●於是對於一個標量場f(r,θ,ψ),及向量場V =erVr+eθVθeψVψ,
→ →
就可以計算grad f,rot V,div V(用Cartan的外微分法):
→
df(r,θ,ψ) = (grad f)‧dl
→ → →
d(V(r,θ,ψ)‧dl ) = (rot V)‧dA
→ → →
d(V(r,θ,ψ)‧dA) = (div V)*dV
【長球面與扁球面座標系】(固定了常數a＞0,)在(u,v)平面上,可以使
用橢圓雙曲座標系:
u = asinh(η)sin(θ),y = acosh(η)cos(θ);
把座標改為(η,θ);你知道命名的理由!(sin(θ)cos(θ)亦可對調!)
請注意: (u=x,v=y,)與(u=y,v=x,)不對稱!
那麼配合上平面座標系,就產生了兩種立體座標系!
長球面(prolate spheroidal)座標系:
x=asinh(η)sin(θ)cos(ψ),y=asinh(η)sin(θ)cos(ψ),z=acosh(η)cos(ψ);
扁球面(oblate spheroidal)座標系:
x=acosh(η)sin(θ)cos(ψ),y=acosh(η)sin(θ)cos(ψ),z=asinh(η)cos(ψ);
【考試】有兩題!一是長球面座標系,一是扁球面座標系.在這兩種座標
→ → → →
系之下,對於一個標量場f(r,θ,ψ),及向量場V =erVr+eθVθ+eψVψ,
→ →
請計算: grad f,rot V,div V.
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