課程名稱︰微積分甲上
課程性質︰系必修
課程教師︰楊維哲
開課學院：理學院
開課系所︰物理系
考試日期（年月日）︰2008/01/14
考試時限（分鐘）：120
是否需發放獎勵金：是
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
【注意】f 屬於 C^2(I)表示：f是區間I上的函數，期二階導函數還連續。
【類推題】把離散的事實改為為連續的！
1. 設n ≧ 3，Pj = (xj,yj), 其中j = 1, 2,...,n; 又規定n + 1≡ 1; n ≡ 0.
假定: 所有的線段P(j-1)Pj互相沒有交點, 只有相鄰線段有共同端點. 則這些端點
的聯集Γ是個'簡單閉折曲線',圍得一個區域R, 以Γ:= δ(R)為緣界(boundary).
Γ的周長為
|Γ|:= sigma(j = 1 to n)( sqrt( |xj-x(j-1)|^2 + |yj - y(j-1)|^2 ) )
R的面積為?
2. 設y(j-1) < yj, fj > 0, 對所有j, sigma(j)(fj) = 1
2i. 求α = μ1, 使得下式為最小:
Φ1(α) := sigma( | yj - α | * fj )
2ii. 求β = μ2, 使得:
Φ2(β) := sigma( | yj - β |^2 * fj )
為最小! 此最小值Var(Y) = Φ(μ2)為何?
2iii. 記sd(Y) := sqrt(Var(Y)), 敘述chebyshev不等式.
3. 若無限數列 y = (y0, y1, y2,...,)有: (Δ^2y)n ≧ 0, 就稱為凸數列, 此時,
對於任何的自然數 n1 < n2 < n3, 都有
n3 － n2 n2 － n1
y(n2) ≦ ──── * y(n1) + ──── * y(n3)
n3 － n1 n3 － n1
(定義'右差分'Δ為 (Δy)j := y(j+1) - yj )
【類推題】把連續的事實改為離散的!
4i. 若(未知數D的)k次方程式('特徵指數方程式')
D^k = a1*D^(k-1) + a2*D^(k-2) + ... + ak
只有單純根 D = λ1, λ2,...,λk, 則: 微分方程式(D := d/dt)
(D^k)y = a1*D^(k-1)y + a2*D^(k-2)y + ... + ak*y
的一切解答, 都可以表達成:
y(t) = sigma(j)(αj * e^(λj * t) )
【提示】推移算子是: (Ey)n := y(n+1).E(yn) = λyn 的解?
4ii. 若上述'特徵指數方程式'恰(只)有一組'退化的'三重根 λ1 = λ2 = λ3,
則解答的前三項改為
(α1 + α2*t + α3*t^2) * e^(α1*t)
4iii. 微分方程式
(D^k)y - ( a1*D^(k-1)y + a2*D^(k-2)y + ... + ak*y ) = h(t)
在下述初期條件下, 必有一解且只有一解:
於 t = 0 時, D(j)y = bj, j = 0, 1,..., k - 1
5. (L'Hopital)若lim(t → ∞)f(t) = +∞, lim(t → ∞)g(t) = +∞,
且lim(t → ∞)( Df(t) / Dg(t) ) = K, 則: lim(t → ∞)( f(t) / g(t) ) = K
【計算題】
6. 求x^10 + 2008/x + 3*x^3 + 3 = 0 的近似解
【提示】2^10 = 1024
7. 以極座標 x = r*cos(θ), y = r*sin(θ),考慮封閉曲線r = f(θ), (0≦θ≦2π)
所圍的區域(假定含有原點)之面積 = (1/2)∫(0 to 2π)( f(θ)^2 dθ)
試求心臟線 r = 1 - cos(θ)所圍之面積.
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※ johansoros:轉錄至看板 yangboy 01/14 19:57