課程名稱︰微積分甲下
課程性質︰系定必修
課程教師︰楊維哲
開課學院：理學院
開課系所︰物理學系
考試日期（年月日）︰2008/6/18
考試時限（分鐘）：120min
是否需發放獎勵金：是！
試題 :
(每題題分≧15)
1.假設以電荷的體密度ρ屬於C^2 (二階導函數存在且連續)生成電位場
ρ(ξ)
Φ(x) := ∫ -------- dV (ξ);
|x-ξ|
又設：若ρ(ξ)≠0，則|ξ| < R1;
試證明：電位在球面S(R1) = {x:|x| = R1} (圓心在原點，半徑=R1) 上的平均值，
就等於：把全部電量 Q = ∫ρdV 放在原點時，所生的在球面S(R1)上的電位
Q/R1
【提示】考慮球面S(R2)上電位的平均(R2>R1)，然後令R2↑∞
2.考慮拋物線 x^2 = 4*p*z, (p>0) 作直線 z=b, (0<b<p) 截得一個「拋物弓形域」，
再將它繞z軸迴，得到一個「碗粿」Ｒ;
如果Ｒ上有均勻的單位密度的電荷，試求在焦點處的電場強度！
3.對於向量場 Ｅ=2xy^3z^4*i+3x^2y^2z^4*j+4x^2y^3z^3*k，試證明：
此場有「位勢」Φ (即是，可使得gradΦ = Ｅ者，當然你必須算出一個！)
4.若向量場 u = x^2*i+y^2*j+z^2*k，計算∮u dA
s
此處s是球面 (x-a)^2+(y-b)^2+(z-c)^2 = R^2
5.計算：∮((y+z)dx+(z+x)dy+(x+y)dz)，其中Γ是橢圓：
Γ
x = sin^2(t), y = 2sin(t)cos(t), z = cos^2(t), (0≦t≦π)
6.(n變數)目標函數f(x)的極值問題，有Fermat處方，參見講義
如果是附帶了約束條件 gi(x)=0, (i=1,2,…,k)，要如何求得目標函數f(x)的極值？
這有Lagrange處方：寫出修正的目標函數
~ k
f(x;λ ,…,λ ) := f(x)- Σ λ * g (x)
1 k i=1 i i
然後就當做無約束的 n+k 元的極值問題來解！
用這處方，試在 2xy^4z^4 = 1 的約束下，求 x^2+y^2+z^2 的極小！
7.這裡的i,ii,iii,選一個做就好了。自己覺得程度不錯的，該做iii
7i.對於最速下降線的問題，試用Euler處方，寫出此問題的微分方程式！
微分方程的答案已知是輪轉線(講義Dd.5)。你能解決嗎？(Sorry！我完全沒有講解
微分方程的解法！那麼最少用「驗證法」吧！)
7ii.若不會上題，那就用Snell-Fermat的說法，(講義Dd.4)驗證此解答！
7iii.求一條曲線 y = f(x), -a≦x≦a,使得它：通過兩點(±a,0)長度為L(≧2a)
a dy 2
而位能 ∫ √(1+(----) ) y(x)dx 為最小！
-a dx
這裡曲線長度就是一個拘束條件，而Lagrange的處方當然行得通！
(答案是懸鏈線！)
【註】
(考試的第一件事就是寫下姓名學號;也許也寫下電話，住址。)
卷末寫下：你認為你該得幾分學期成績。
另外也寫下另外隨便一位同學應得幾分，做為對照。
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◆ From: 140.112.102.7