課程名稱︰數理統計
課程性質︰選修 (專為非數學系學生設計)
課程教師︰吳貴美
開課系所︰數學系
考試時間︰2005.1.10
試題 :
(所有作答都要有詳細過程才予計分)
1.在一個車內安全帶(seat belt) 的研究中，樣本均來自車中有一個五歲以下兒童的
車禍事件，並且在此事件中至少有一人不幸喪生。20分
令 Y1 =┌ 0, 表示小孩存活下來 (註：Y1, Y2, y1, y2中的 1,2
└ 1, 表示小孩沒活下來 皆為下標，以下數題同理)
┌ 0, 小孩座椅沒有綁上安全帶
Y2 =│ 1, 小孩座椅只用大人安全帶綁著
└ 2, 小孩座椅有繫椅內安全帶和大人安全帶
設 (Y1, Y2)～f(y1, y2) = y2\y1│ 0 1
───┼──────
0 │ 0.38 0.17
1 │ 0.14 0.02
2 │ 0.24 0.05
(a) 求 Y1, Y2 的邊際機率函數
(b) 求 P(Y2|Y1 = 0) ，並解釋他們所表示的意思
(c) 求 P(Y1 = 0|Y2) ，並解釋他們所表示的意思
(d) Y1, Y2此二隨機變數獨立嗎？為什麼？
2.設Y1, Y2分別代表員工 A,B用在他們指定工作站上班時間的比例，且知
f(y1, y2) =┌ y1 + y2, 0≦y1≦1, 0≦y2≦1 40分
└ 0 , elsewhere
(a) 求 P(Y1< 1/2, Y2> 1/4)
(b) 求 P(Y1 + Y2≦1)
(c) 求 Y1, Y2 的邊際機率函數
(d) 求 P(Y1≧1/2| Y2≧1/2)
(e) 設 B用一半的上班時間做指定工作，問 A用多過 3/4的上班時間做指定工作的
機率是多少？
(f) 設 Z是合計 A跟 B的生產量，知 Z = 30Y1 + 25Y2，求 E(Z)
(g) Y1, Y2 indep嗎？為什麼？
(h) 求 V(Z)
3.設 Z～N(0, 1) ，令 Y1 = Z, Y2 = Z^2 14分
(a) 求 E(Y1), E(Y2) 和 E(Y1Y2)
(b) 求 cov(Y1, Y2)
(c) 求 P(Y2 > 1|Y1 > 1)
(d) 問 Y1, Y2 indep 嗎？為什麼？
4.設Y:紡織品每碼所出現的瑕疵點的個數，已知 Y～Poisson(λ)，而
λ～f(λ) = ┌ e^(-λ), λ≧ 0 (註： e為自然對數2.718，以下數題同理)
└ 0 , λ < 0 14分
(a) 求 E(Y), V(Y)
(b) 問 Y > 7的機會大不大
5.設 Y1:走進速食店到拿到食物所需的時間
Y2:排隊等候輪到你去訂購食物所需的時間 10分
f(y1, y2) =┌ e^(-y1), 0≦y2 < y1 <∞
└ 0 , elsewhere
令 U = Y1 - Y2 :購買食物所用的時間
(a) 用 method of distribution function 求 U的 p.d.f.
(b) 求 E(U) 和 V(U)
6.設某電子零件的壽命 Y的p.d.f.為 12分
f(y) =┌ (2y/θ)．e^(- y^2 /θ), y > 0
└ 0 , y≦ 0
(a) 用 method of transformation 求 U = Y^2 的 p.d.f.
(b) 用 (a)的結果求 E(Y) 和 V(Y)
7.設 Y1, Y2: i.i.d～exp(β) 10分
令 U1 = Y1 + Y2, U2 = Y1 / Y2 (註：U1, U2中的 1,2也為下標)
(a) 求 (U1, U2) 的 joint p.d.f.
(b) U1, U2 indep 嗎？為什麼？
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