課程名稱︰微積分甲
課程性質︰
課程教師︰吳貴美
開課系所︰
考試時間︰2005.4.27
試題 :
t t/2
１ (a)求曲線 x= e - t , y= 4 e 在 0≦ t ≦1 間之長
(b)求同一曲線在 0≦ t ≦1 間繞y軸旋轉所得的表面積
２ 求r=1 和 r= cos2θ 的交點並標明這些交點些對於各曲線的座標
３ 求r=2+sinθ之內,r=3sinθ 之外的面積
４ (a)展開f(x)= x / (1-x)^2 成冪級數
∞
(b)利用(a)所得的結果求 Σ n / 2^n 之質
n=1
0.2 -1 3 3
５ 求 ∫ ( tan x + sin x ) dx 準確至小數五位
0
６ 設 r(t)= (t^2 , sint - tcost, cost + tsint),求 T(t),N(t)和K(t)
７ (a) 問 f(x,y,z)= yx^2 + x(1+z)^1/2 在(1,2,3)沿哪個方向有最大變化率.
這個變化率是多少?
(b) 求此函數在(1,2,3)沿 v=2i+j-2k 的方向導數
８ f(x,y) = { xy
{ --------- , (x,y)≠(0,0)
{ x^2 + y^2
{
{ ０ , (x,y) = (0,0)
(a)求 fx (0,0) , fy (0,0)
(b)証 f(x,y)在(0,0)可微分或不可微分
９ 設z=f(u,v)有連續的第二階偏導數
u=xy , v=y/x ,試証
2 2 2 2 2
x δz / δx^2 - y δ z / δy^2 = -4uv δz/δuδv + 2v δz/δv
4 2 3 xyz
１０ 設yz + x y = e , z 為(x,y)的函數
1/2 2
求在點( 0 , 1/4, 2 ) 的δz/δx 和 δz/δx
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