課程名稱︰微積分甲下
課程性質︰共同必修
課程教師︰吳貴美
開課學院：生農學院
開課系所︰
考試日期（年月日）︰96/6/18
考試時限（分鐘）：150
是否需發放獎勵金：是，謝謝
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
1. (10分)
12x^2 *y - 3y^2
f(x,y) = ----------------- , (x,y)≠(0,0)
x^2 + y
= 0 , (x,y)＝(0,0)
求fy(x,0), 此處x≠0 ; 和fy(0,0)
2. (10分)
f(x,y) = e^2y arctan( y/3x ),
問在點(1,3), f(x,y)沿哪個方向的變化率最大，其值是多少？
又沿哪個方向，f(x,y)之值不變？
3. (10分)
設xz + y㏑x - x^2 + 4 = 0，其中x為y,z的函數
求在點(1,-1,-3)的 dx/dz 和 d^2 x/dz^2 (ps: 兩者都是偏微分)
4. (10分)
用Lagrange Method 求 f(x,y,z) = x^2 yz + 1 的極大(小)值。
而要求點在 z = 1 和 x^2 + y^2 + z^2 =10 之上
5. (10分)
1 1 ye^(x^2)
求∫ ∫ ---------- dxdy 之值 (ps: 分子的部份是e的x平方次)
0 √y x^3
6. (10分)
求同時在 z = √(16 - x^2 - y^2) 和 x^2 + y^2 - 4x = 0 之內的區域的體積
7. (10分)
∞ ∞
已知 ∫e^(-x^2) dx = √π， 求 ∫√x e^(-x) dx 之值
-∞ 0
8. (15分)
求∫∫x dA ; R: 在第一象限內，由 y=x, 4x-y^2=4, x軸 和
R 4x-y^2-16 所圍成之區域
(a) 用下列變數變換做：
設 x=r secθ， y=2r tanθ
(b) 不用變數變換做
9. (10分)
求∫ (e^(-x^2 /2) - y) dx + (e^(-y^2 /2) + x) dy)
C
此處C：在圓 x = 6cosθ , y = 6 sinθ 和橢圓 x = 3cosθ , y = 2sinθ
中間的區域
10.(15分)
F(x,y) = x^2y i + xy^(3/2) j
(i) 求 ∫ F‧dr ; C1: r1(t) = (t+1)i + t^2 j , 0≦t≦2
C1
(ii) 求 ∫ F‧dr ; C2: r2(t) = (1+2cost)i + 4(cost)^2 j , 0≦t≦π/2
C2
(iii) C1 與 C2之間有甚麼關係？ (各自消去t看看)
再說明∫ F‧dr 與 ∫ F‧dr 之間的關係
C1 C2
11.(10分)
(a)甚麼叫做一個保守向量場 (Conservative vector field)?
(b)設F(x,y,z) = e^(yz) i + ( xz*e^(yz) + z cosy) j + ( xy e^(yz) + siny) k
(i) 証 F(x,y,z) 為一個保守向量場
(ii)設 A 為點(1,0,1)，B為點(1,π/2,0)
B
求∫ F‧dr
A
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