[試題] 97上 王振男 微積分乙上 第四次小考 (詳解)

[liltwnboiz (TCL)]

課程名稱︰微積分乙
課程性質︰必帶
課程教師︰王振男
開課學院：醫學院
開課系所︰醫學系
考試日期（年月日）︰2008/12/15
考試時限（分鐘）：20
是否需發放獎勵金：是

試題 :

1. (10%)Show that if α>-1 and β>α+1, the following integral converges

    ∞   x^α
    ∫  ───  dx
    ０  1+x^β

  sol>  α>-1 => -α<1, β>α+1 => β-α>1

    ∞   x^α        ∞         1
    ∫  ───  dx = ∫  ────────  dx
    ０  1+x^β       ０  x^(-α)+x^(β-α)

      １         1                ∞         1
    = ∫  ────────  dx +  ∫  ────────  dx
      ０  x^(-α)+x^(β-α)       １  x^(-α)+x^(β-α)

            １         1                     ｂ         1
    = lim   ∫  ────────  dx + lim   ∫  ────────  dx
      a→0+ ａ  x^(-α)+x^(β-α)      b→∞ １  x^(-α)+x^(β-α)

           　１  　         １
    First, ───  >　────────  for any 0<x<1
           x^(-α)    x^(-α)+x^(β-α)

          １   １                          １         1
    lim   ∫ ───  dx converges => lim   ∫  ────────  dx converges
    a→0+ ａ x^(-α)                 a→0+ ａ  x^(-α)+x^(β-α)

            　 １    　         １
    Second, ────  >　────────  for any 1<x<∞
            x^(β-α)    x^(-α)+x^(β-α)

          ｂ    １                       ｂ         1
    lim   ∫ ────  dx conv. => lim   ∫  ────────  dx conv.
    b→∞ １ x^(β-α)             b→∞ １  x^(-α)+x^(β-α)

              ∞   x^α
    Therefore ∫  ───  dx converges.
              ０  1+x^β


2.(10%)solve the initial value problem:

     dy
    ── = αy(m-y), y(0) = y  > 0
     dt                      °

  where α, m are positive constants. also, find lim  y(t)
                                             t→∞

           1                      1
  sol>  ──── dy = dt =>  ∫──── dy = (1/αm)∫{(1/y)+[1/(m-y)]} dy
        αy(m-y)               αy(m-y)

     = (1/αm)(ln|y/(m-y)|) = t + C => |y/(m-y)| = (c')e^(αmt)

     之後討論 m > y, m < y 的兩種情形, 並且代入起始條件求得c'


如果有錯請提出  感謝

這篇是打給班上同學用的  順便放上來

如果有獎勵當然很好  @.@

按規定沒有的話也ok  Orz

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推 windswiff   :真是太感謝卷霖了TwT
→ liltwnboiz  :我不是卷啦 都炸光了  Orz
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推 ALegmontnick:done
→ liltwnboiz  :這篇有錯 請小板主重新增加 感謝
→ liltwnboiz  :等等不是這篇 Orz