Re: [試題] 99上 王振男 微積分乙上 第五次小考

[liltwnboiz (TCL)]

※ 引述《kf40410 (Ed)》之銘言：
課程名稱︰微積分乙上
課程性質︰必帶
課程教師︰王振男
開課學院：醫學院
開課系所︰醫學系
考試日期（年月日）︰2010/12/14
考試時限（分鐘）：25
是否需發放獎勵金：是



1. Test convergence for

    ∞      lnx
    ∫─────── dx , p>0 (分情形討論)
    ｅ (1+x^2)^(1/p)

                        lnx                  lnx
   sol> Let f(x) = ─────── , g(x) = ────
                   (1+x^2)^(1/p)           x^(2/p)

         f(x)      x^(2/p)                  1         lnx
   lim   ── = ─────── = 1 , and ──── < ──── for any x > e
   x→∞ g(x)   (1+x^2)^(1/p)            x^(2/p)    x^(2/p)

                     ∞    1                    ∞   1nx
   (1) When p > 2, =>∫ ──── dx diverges => ∫ ──── dx diverges
                     ｅ x^(2/p)                 ｅ x^(2/p)

          ∞　    lnx
       => ∫ ─────── dx diverges.
          ｅ (1+x^2)^(1/p)

                   ∞   lnx         ∞                           ∞
   (2) When p = 2, ∫ ──── dx = ∫ lnx d(lnx) = (1/2)(lnx)^2 |  diverges
                   ｅ x^(2/p)       ｅ                           ｅ

          ∞      lnx
       => ∫ ─────── dx diverges.
          ｅ (1+x^2)^(1/p)

                       ∞   lnx             1    ∞
   (3) When 0 < p < 2, ∫ ──── dx = ──── ∫ lnx d{x^[(-2/p)+1]}
                       ｅ x^(2/p)       (-2/p)+1 ｅ

             1     ╭                    ∞   ∞                   ╮
       = (────)│(lnx){x^[(-2/p)+1]} |  - ∫x^(-2/p+1)(1/x) dx │
          (-2/p)+1 ╰                    ｅ   ｅ                   ╯
                        converges                    converges

                  lnx            1/x             1
       for lim   ─── = lim   ─── = lim   ─── = 0  (L'Hopital's Rule)
           x→∞  x^α    x→∞ αx^α   x→∞  x^α       (α > 0)

          ∞      lnx
       => ∫─────── dx converges.
          ｅ (1+x^2)^(1/p)


       (這題真是殺死我一堆腦細胞....找不到comparison 竟然只能暴力解... Orz)


2. Test convergence for

   (π/2) √(sinx)
     ∫   ──── dx
     ０      x

   sol>  √(sinx)   √(sinx/x)
         ──── = ───── < 1/√(x) for any 0 < x ≦ π/2
            x         √(x)

   (Let f(x) = sinx, According to the Mean Value Theorem, for any

   0 ≦ a ≦ π/2, there exists a number 0 < c < π/2 such that

   sina - sin0
   ────── = cos(c) < 1 => (sinx/x) < 1 => √(sinx/x) < 1)
      a - 0

   (π/2)                         (π/2) √(sinx)
     ∫   1/√(x) dx converges =>   ∫   ──── dx converges.
     ０                             ０      x



   感想: 如果考試的時候能寫出來就好了 哭哭

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◆ From: 140.112.4.200
※ 編輯: kf40410         來自: 140.112.4.200        (12/14 13:06)
→ ALegmontnick:done
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.24.147.154
※ 編輯: liltwnboiz      來自: 114.24.147.154       (12/18 00:49)
推 ALegmontnick:done
推 ouanonym    :哇你太誇張了"o" 卷到不行耶 連詳解都PO 推強者同學
→ liltwnboiz  :會po詳解沒用阿 囧 我寧願考試的時候寫得出來...