課程名稱︰幾何學
課程性質︰必修
課程教師︰翁秉仁
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2007/11/21
考試時限（分鐘）：約150 (延長過後)
是否需發放獎勵金：是...當然要
（如未明確表示，則不予發放）
試題 :
平面曲線：(T,N)表示常用orthonormal frame, κ curvature
空間曲線：(T,n,b)表示Frenet frame, κ curvature, τ torsion
曲面：N表示normal, E,F,G first fundamental form的係數,
e,f,g second fundamental form, K Gaussian curvature, H mean curvature
若非特別提醒，均在regular的範圍中討論即可
A1.[9pt] 以E,F,G,e,f,g與K,H來表示 det(N,Xu+Nu,Xv+Nv)
A2.[6pt] 簡答題：為什麼ruled surface與minimal surface的K非正？
B.考慮平面曲線γ(t)=(2cost + cos2t,2sint - sin2t),t屬於R
(1)[5pt] 計算κ(π/2)
(2)[5pt] 求此曲線的頂點(κ'= 0 或κ存在的點)
(3)[5pt] 計算 2π/3
(1/2π)∫ κ(t)|γ'(t)|dt
0
C.考慮曲面X(t,v)=(vcost,vsint,-t). t,v屬於R
(1)[9pt] 求N,E,F,G,e,f,g,K
(2)[2pt] 這個曲面是minimal surface嗎？
(3)[4pt] 考慮Gauss map N(t,v)，描述單位球上經緯線的pre-image。N會映
到單位球上所有的點嗎？
2 2
D.(1)[8pt] N:Σ-> S 為曲面Σ=im(X(u,v))到單位球S 的Gauss map。
一定義證明 dN(Xu)=Nu。
(2)[7pt] 證明 dN 逐點都是 linear map. i.e. (可假設(1)是對的)
→ → → →
dNp(a(p)．Vp + b(p)．Wp)=a(p)．dNp(Vp) + b(p)．dNp(Wp)
E. y=f(x), f(x)>0，將其函數圖形對x軸旋轉，得一旋轉面。
(1)[10pt] 緯圈 x=c 上每一點的 K 彼此相等，試決定 K(c)。討論f(x)凹
性與 K 正負號的關係。
(2)[5pt] 何時緯圈 x=c 是 geodesics？
F組選一題，G組選一題。F1 和 G1只能選一題，F2 和 G2只能選一題。(一題15pt)
F1.有一regular平面曲線γ(t)，令 Q(t)=<γ'(t),γ'(t)>, q(t)=<γ''(t),N(t)>
(1)若 γ''=aγ'+ bN ，用 Q 和 q 或其微分表示 a,b,c,d。
N ' =cγ'+ dN
(2)討論κ、Q和q之間的關係。
..
(3)證明當κ≠0 時，<γ'',γ>恆為正。
F2.γ(s)為某曲面上的程度參數曲線，且γ(s) asymptotic。考慮ruled surface：
2
γ(s)+vN(s)。證明該曲面限制在γ(s) 上的 K(s)= -τ (s)。
2 2 2
F3.證明Ax +Bxy+Cy +Dxz+Eyz+Fz =1 的 K 和下列行列式同號。
|A B D|
|B C E|
|D E F|
λ
F4.有一regular曲面X(u,v)，考慮平行曲面X ≡X(u,v)+λN(u,v)。
┌E(λ) F(λ)┐
(1)令I(λ)≡└F(λ) G(λ)┘，證明 K= 1/4．det(I'(0))/det(I(0))。
λ
(2)若 H=0且 K≠0，任取X上某區域D，考慮對應點的區域D ，證明當
λ
λ夠小時，D 面積小於 D 的面積。這和 H=0 (minimal surface)
的事實矛盾嗎？
F5.證明minimal surface上的兩組asymptotic curves彼此互相垂直。反敘述
是否成立？
G1.證明某平面曲線的evolute的involute是該曲線的parallels。
2 2 2
G2. x +y -z =1 是ruled surface 嗎？若是，請求出其 line of striction與
rulings。若不是請說明理由。
→ →
G3.γ(s)為長度參數曲線，κ<1。考慮X(s,θ)=γ(s)+cosθ．b(s)+sinθ．n(s)。
(1)描述曲面上 K>0, K=0, K<0的區域。
(2)決定σ(s,θ)使得X +σX 是principal direction。
s θ
(3)找出 umbilical points的位置。
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