課程名稱︰線性代數一
課程性質︰必修
課程教師︰翁秉仁
開課學院：理學院
開課系所︰數學系
考試日期（年月日）︰2010/1/15
考試時限（分鐘）：120
是否需發放獎勵金：是
試題 :
甲[20pt] 判斷下列敘述的對錯, 不論對錯皆請說明其原因, 字數不超過50字
(在下列十題中選出四題來回答, 若超過五題, 請標明選擇題號, 否則依序取前四題計分)
每題5分 共計20分
1. 若 W < R^n， W⊥ 為 W 的orthogonal complement ，則 W∩W⊥={0} 且
W + W⊥ = R^n 。
2. 若n階方陣P滿足P^2=P，則對任一向量 v in R^n ，Pv 與 v-Pv 互相垂直。
3. 若 W= Sp (v_1, ... , v_k) , A=[v_1, ... , v_k] ，則正交投影到W的投影矩陣
為 A(A^T A) ^(-1) A^T .
4. W < R^n，且 dim W = k < n，若R_W 為對W的正交鏡射矩陣，則|R_W|=-1。
5. A,B,C,D為2階方陣，則 │A B│
│ │= |A||D|-|B||C| 。
│C D│
6. 一個正交矩陣的行列式必定等於1。
7. A是n階非零方陣且n為奇數，若A^T=-A，則|A|=0。
8. 另C為4階方陣的cofactor方陣，若rankA=2，則C=0。
9. 若v_1, ... , v_k線性無關，則其展成的平行多面體體積不為零。
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│ 1│ │ 0│ │ 0│
│ 0│ │ 1│ │ 0│
10.R^4中三個向量 │ 0│,│-1│,│ 1│ 展成的平行六面體體積為4。
│-1│ │ 0│ │ 1│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
乙[80pt] 本類1.至4.題都必須回答, 5A與5B選一題作答, 共計80分.
┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐
│0│ │0│ │1│
│1│ │0│ │1│
1. [15pt] 令 W = Sp(│0│,│1│,│1│)是R^4的三維子空間。
│1│ │1│ │1│
└ ┘ └ ┘ └ ┘
a. [6pt] 將上述W的基底依序用Gram-Schmidt法，求出一組W的orthonormal基底。
b. [6pt] 求投影到W的正交投影矩陣。
c. [3pt] 求對W作正交鏡射的鏡射矩陣。
2. [15pt] 已知有資料 (0,0,1),(1,0,2),(0,1,2),(1,1,4),用最小平方法找出最適
平面 z=mx+ny+k 。
┌ ┐
│0 2 1 0│
│7 0 0 3│
3. [15pt] A=│4 0 0 2│， a.[5pt] 計算|A| b.[10pt]利用cofactor計算A^(-1)
│0 5 3 0│
└ ┘
4. [15pt] 證明 |AB|=|A||B|。
5A.[15pt] 若 W 為 R^n 的子空間，說明如何求出R^n 到 W的正交投影矩陣 P_W。
並探討 tr(P_W) 和 |P_W|。
5B.[15pt] 若n階方陣滿足 P^2=P ，P^T=P ，詳細證明為何P是 R^n到某個子空間
的正交投影矩陣。
丙 本類最多可選一題回答, 若超過一題, 請標明所選題號, 否則以第一題計分.
│λ 0 0 0 a_0 │
│-1 λ 0 0 a_1 │
│0 -1 λ 0 a_2 │
1. [5pt]證明 │ │ =
│ │
│0 0 0 λ a_n-2│
│0 0 0 -1 λ+a_n-1│
λ^n + a_n-1 λ^n-1 + ...... + a_2 λ^2 + a_1 λ + a_0
│1 1 0 0 0 │
│-1 1 -1 0 0 │
│0 1 1 0 0 │
2. [5pt] 完整計算 │ │，由低階計算得到的猜測
│ │
│0 0 0 1 (-1)^n│
│0 0 0 (-1)^(n+1) 1│
最多2分。
│ 1 a a^n-1│
│ a 1 a^n-2│
3. [10pt] 計算 │ │ 其中矩陣元素為a^|i-j|
│ │
│a^n-1 a^n-2 1 │
，由低階計算得到的猜測最多3分。
4. [10pt] 令向量空間 P_5= { a_0 + a_1 t + a_2 t^2 + ... + a_5 t^5 | a_i in R }
並取一組基底 1, t, ... , t^5 。定義線性映射 T : P_5 → P_5 為
T(f)(t)=f(t-1)
a.[5pt] 求T以此基底的表示矩陣M
b.[5pt] 從線性映射的觀點求 M^(-1) (警告：不要硬算)
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