國立台灣大學暑期課程
-----近代數學概論-----
主辦單位：國立台灣大學理學院 國家理論科學研究中心 國泰人壽機構教育中心
時 間：七月四日至十日，上課時間共36小時，授予2學分。
地 點：淡水鎮鄧公路266號國泰人壽機構教育中心。
上課方式：七月四日15：00--17：00報到，七月五日至十日每日8：30--12：30主題演講，
下午自由活動，晚上19：00--22：00分組討論與邀請演講。七月十日12：30全
部課程結束。
邀請講員：
主題演講----
黃銘德（計算數學），林紹雄（動力系統），李瑩英（微分幾何），
王金龍（代數幾何），賀培銘（超弦理論）。
邀請演講----
丘成桐、于靖、吳志揚、林長壽、林松山、康明昌、陳宜良、
陳俊全、許世壁、程舜仁、蔡宜洵、謝南瑞等。
（稱謂恕略）
成績評量方式：繳交習題或讀書心得報告。
對 象：國內各大學及研究所學生修習過「高等微積分」及「線性代數」或內容相當
之課程（如，「工程數學」、「應用數學」）之學生。
如經本課程授課教師同意並推薦之學生，亦可修習本課程。
費 用：不收學分費，酌收食宿講義費2000元。
報名日期：五月二十日至三十一日。
報名方式：填寫次頁之報名表，連同個人成績單，在報名期間內傳真或郵寄到以下聯絡地
址：
台北市台大理學院
李淑敏 小姐
電話：（02）2363-0231轉2305
傳真：（02）2362-2005
E-mail：beth@ms5.url.com.tw
※ 經主辦單位甄選合格之學生將個別通知其報名與繳費辦法。報名表請自行影印。
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| 近代數學概論報名表 |
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|姓 名 |
|身份證字號 |
|出生年月日 |
|就讀學校系級 |
|學 號 |
|聯 絡 住 址 |
|聯 絡 電 話 |
|E-mail |
|推薦教師簽名 |
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課程大綱
（1） 計算理論-----
早期計算理論的研究動機，原是為了解決數學及邏輯上的一些基本問題，它的影響卻
超過了數學與邏輯的範圍。電腦是自動機的具體實現，而形式語言的研究，也為各階段程
式語言的發展奠立了基礎。計算理論的後續發展仍舊維持高度的抽象性，卻同時與工程及
科學有積極的互動關係。本課程旨在為數學、科學及工程科系的學生提供簡要的計算理論
導引。主要課題包括：
1. 自動機及形式語言的對應
2. 可計算性理論
3. 計算複雜度理論
（2） 超弦理論-----
超弦理論（Superstring Theory）是目前為一已知可能用來描述所有物理現象的理論
，弦論的發展也一直與幾何學的研究息息相關。本課程中我們將簡介弦論的基本概念，然
後討論近年來弦論在物理學上的重要突破。因為弦論是一個十分複雜的理論，我們必須先
花一些時間在基礎的物理理論上。本課程的大綱如下：
1. General Relativity 廣義相對論
2. Quantum Field Theory 量子場論
3. Particle Physics 粒子物理
4. String Theory 弦論
5. D-branes and Dualities D膜及對偶
6. Quantum Gravity, Holography, and Outlook 量子引力學，全像原理，
及未來展望。
（3）微分幾何初步-----
我們將首先介紹R3中的曲面，瞭解一些幾何名詞的具體意義，而後介紹Gauss-Bonnet
定理及其應用。接下來談抽象的微分流形、黎曼距離，以intrinsic觀點來討論測地線、
曲率等觀念及相關定理，說明正曲率將導出流形的緊緻性（Myers-Bonnet定理）。曲線的
長度變分定義出測地線。其高維的推廣，考慮面積的變分，則導出極小曲面。肥皂泡膜，
極小曲面的例子，及其應用是我們的最後一個主題。
（4）代數幾何------
這個短期課程的主要目的是希望能介紹給同學一些具體、可算的例子，用以說明代數
幾何學裡最根本的一些思想。代數幾何過去被認為是艱難的純數學領域，但是在近20年來
，它與其他科學甚至科技的關聯漸漸被開發了出來，可以預見的未來代數幾何將會是解決
許多問題的過程中有用的工具，因此我們期望利用這個課程，讓更多的同學能建立對代數
幾何學的興趣。
主要的內容將會包括：
a. 橢圓函數與三次曲線
這個主題的目標在於建立古典複變函數與代數多項式的關係，我們希望能解釋為什麼
橢圓週長的積分式是無法被初等函數所表達的。
b. Riemann-Roch定理及其應用
我們將會對代數曲線的Riemann-Roch問題做較深入的探討，時間許可之下，我們將簡
介Riemann-Roch問題與Hilbert多項式在一般維度下的關係。
c. Blowing-Up技巧與三次曲面的幾何
我們將詳細介紹blow-up的意義與計算方法，並用以化解奇異點，最後我們利用它來
證明三次多項式所定義的曲面上有27條直線並且將概述這和物理上quantum
correction的關係。
（5）動力系統-----
動力系統指的是對隨著時間在演化的現象所作的討論，最顯著的例子就是流體如水、
空氣等的運動現象。流體隨著它的速度，環境的影響等表現出有laminar，turbulent，
intermittent等現象，對這些現象的瞭解顯然幫助我們在天氣預報，航空動力及船舶製造
等實用科技的進展。尤有甚者，因為想對流體運動的物理本質作深入的瞭解，導致近二、
三十年來動力系統理論的大進展，對所謂integrable systems，chaotic systems，
fractals，transition phenomena等皆有一定的澄清；雖然很不幸的，儘管有這些進展，
我們對所謂的turbulent flow仍然一籌莫展。目前，動力系統的理論應用到物理、化學、
生物、工程、甚至經濟、人文等科技的領域，譬如古典或量子力學，化學反應動力學、
原子結構、生態系統、financial pricing等。一般的瞭解是，完全有規則運動的動力系統
（所謂的integrable systems）是很少的（但頗為重要），一般的動力系統（尤其有非線
性現象發生時）都表現出有chaos的現象，而chaos的現象及routes to chaos是頗為
universal的。
本課程作為動力系統的介紹，選擇性地介紹三種型式的動力系統，亦即iteration map
，Hamiltonian systems及reaction-diffusion systems或Navier-Stokes flow，主要的內
容如下。
A. C0 semi-groups. Asymptotic behaviours. Attractors. Stable and unstable
manifolds. Symbolic dynamics and Smale's Horseshoe. Homoclinic explosions.
Chaos. Ergodicity.
B. Iteration mapping on intervals. Sarkovskii theorem. Period doubling
bifurcation route to chaos. Renormalization and Feigenbaun universality.
C. KAM Theory. Destruction of the Cantori of integrable islands. Periodic
orbit theory and the topological entropy. Quantum chaos.
D. Infinite-dimensional dynamical systems. Chemical turbulence via reactions
and diffusions. Chaos in Navier-Stokes flow. The Lorenz model.
我們大部分將以適當的例子來解釋這些理論。
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