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作者: th1@stern.nyu.edu (Te-ming Ho)
標題: 囚犯問題解答
時間: Wed Aug 6 06:24:40 1997
話說 A 聽完獄卒的話就回去算起自己的命運來了:
原先處死名單的樣本空間是 {(A,B),(A,C),(B,C)} equally likely,
所以 A 被處死的機率是 2/3. 但獄卒說 "B會死", 所以 {(A,C)} 就
不可能了, 這麼一來樣本空間變成 {(A,B),(B,C)} equally likely,
A 被處死的機率就降至 1/2 了.
等等, 這麼一來獄卒不就違反命令了嗎? 他怎麼還敢回答 A 的問題呢?
獄卒 (據說他學過機率) 卻認為他沒有違反命令, 他相信 A 聽了他的
回答之後, A 算自己被處死的機率仍為原先的 2/3, 獄卒的想法如下:
P[A會死 | 獄卒回答 'B會死']
=P[A會死 x 獄卒回答 'B會死'] / P[獄卒回答 'B會死']
=P[(A,B) 會死] / P[獄卒回答 'B會死']
=(1/3) / (1/2) = 2/3
此處 1/3 為 "(A,B) 會死" 之機率
此處 1/2 為 "獄卒回答 'B會死'" 之機率
P[獄卒回答 'B會死'] = P[獄卒回答 'B會死' | (A,B) 會死] * P[(A,B) 會死]
+ P[獄卒回答 'B會死' | (A,C) 會死] * P[(A,C) 會死]
+ P[獄卒回答 'B會死' | (B,C) 會死] * P[(B,C) 會死]
= 1 * (1/3) + 0 * (1/3) + (1/2) * (1/3)
= 1/2
這裡假設當處死名單是 (B,C) 時, 獄卒會隨機說: 'B會死' 或 'C會死'.
所以 A 聽到獄卒回答 'B會死' 之後, 他自己會死的條件機率仍為 2/3.
有趣的是: 此時 P[B會死 | 獄卒回答 'B會死'] = 1
P[C會死 | 獄卒回答 'B會死'] = 1/3