※ [本文轉錄自 Teming 信箱]
作者: th1@stern.nyu.edu (Te-ming Ho)
標題: Monte Hall Problem 解答
時間: Wed Aug 6 06:24:57 1997
以下是 "標準版本" 的解答及一些假設, 這些假設直覺看來是 "最接近實際情況"
的, 但除非去問 Monte Hall 本人, 不然這些都只能是假設而已. 既然是假設, 當
然仍有討論的餘地.
1. 車鑰匙會在三個箱子中的哪一個的機率各為 1/3.
2. 主持人知道車在哪一個箱子.
3. 觀眾選定以後, 主持人必定會打開一個箱子, 不會不開就問觀眾要不要換.
4. 觀眾若一開始就選中車子, 主持人會 "隨機" 在剩下的兩個箱子中打開一個,
也就是剩下兩個箱子被打開的機率各為 1/2.
5. 觀眾若一開始選中 "大頭菜" (這玩意兒叫: turnips), 則主持人 "毫無選擇"
(機率 = 1) 必定會打開另一箱大頭菜.
這些是 "從觀眾的眼中看來最接近實際情況" 的假設, 對知道內幕的人當然不成
立.
這麼一來觀眾採取 "換箱子策略" 之下中車子的條件機率是: 2/3, 理由如下:
三個箱子取名: A, B, C, 假設觀眾選 A 箱 (選 B, C 的情況可由 "對稱性質"
依此類推). 則:
車鑰匙在 主持人打開 機率
(1) B C 1/3
(2) C B 1/3
(3) A C 1/6
(4) A B 1/6
(1) 1/3 = (1/3) * (1) = (P[車鑰匙在 B]) * (P[主持人開 C]) (假設1,5)
(2) 1/3 = (1/3) * (1) = (P[車鑰匙在 C]) * (P[主持人開 B]) (假設1,5)
(3) 1/6 = (1/3) * (1/2) = (P[車鑰匙在 A]) * (P[主持人開 C]) (假設1,4)
(4) 1/6 = (1/3) * (1/2) = (P[車鑰匙在 A]) * (P[主持人開 B]) (假設1,4)
所以 "換箱子策略" 之下中車子的條件機率是: 1/3 + 1/3 = 2/3,
不換的話只有: 1/6 + 1/6 = 1/3 的機率會中.