[討論] 薛丁格方程式

[lttlstrngth (★小強♂≠壞人)]

今天就由小強來講解一下薛丁格方程式～

可能對於不清楚的人們有一點幫助～
讓期中不及格的人來講解好像有點...


那"薛丁格方程式"的起源要先從"測不準定理"開始

那就是說對於微小粒子，有一些operator不能同時測得(那其實有公式...)

所以有一個很聰明的人～"薛丁格"想到了一個方法(方程式)

利用
    ^
    HΨ=EΨ

來求得Ψ(一個函數)(先別管她能幹嘛)
E是個常數，EΨ代表Operator對於Ψ做出E的值
那operator的意思就是可以求該種數值的操作子～

那我們就先用One particle in the box(One Dimensional)來說明

一個長度為a的區間，因為是個box～

所以說沒辦法到外面，因此假設其位能(跟老師假設的不一樣喔)

V(x)=0 (0﹤x﹤a)
V(x)=∞ (x﹥a, x﹤0)

那麼此時
       _2     2
 ^   - h    d
 H = ── (──)  +  V(位能)        打不出partial真抱歉...
      2m    dx

即是Hamitonion能量操作子(老師一直說得鬼東東)

使用該薛丁格方程式
    ^
    HΨ=EΨ

來求Ψ
那順序是這樣的：

1.Use Schodinger Equation
2.boundary condition
3.normalization

那第一步時，帶入式子後
                   _-2  
Ψ微分二次= Ψ 2mE h

            _-2      2
此時假設2mE h   =  -k  (因為微分兩次，所以如此假設)

因為經驗法則(?)(跟e有關就是了)

所以假設Ψ=Acos(kx) + Bsin(kx)  (也可以假設e，但e出來的isinθ圖形難以想像)

此時就是步驟二啦!!

帶入邊界條件(boudary condition)

Ψ(0) = 0
Ψ(a) = 0 (因為此波函數要連續，但外面不存在粒子)

A = 0
ka = nπ 
                                                nπ
所以呢～可以得到 A B 求到Ψ(x) = Bsin kx = Bsin ─ x (因k是變數，所以用a常數換)
                                                 a
再來就是第三步摟～

normalization及是標準化(存在機率等於一)


   a    2  2               nπ
 ∫  |B|sin θdx =１  (θ= ─ x)
   0                        a

接下來就是數學問題了(自己去積分)

可以利用
   2     1
sin θ= ──( 1 + cosθ)
         2
因此求得

   a    2        a               
 ∫  sin θdx = ─  
   0             2

接下來自己求 B, k, 還有Ψ
(B取正就好了...也不要放i，不然妳就不用作圖了...Orz)
(注意：Ψ函數中有n的常數變數呦～)
==========================================================================
接下來要說明
    ^
< n|o|m >


那其實
< n|稱之為bra
|m >稱之為kit
                 ^
如果一個Operator A 對於kit來操作時(產生值 a )，記為
^
A|m > = a|m >  (重點：a 為常數)

所以之前有一個詭異的式子：

    ^                       ^
< n|H|m >       =       < m|H|n >*
   ||                       ||
< n|Em|m >      =       < m|En|n >*  (換成數值)
   ||                       ||
Em < n|m >      =       En* < m|n >*  (提出常數)
                            ||
                        En* < n|m >        
所以得到Em = En*(其中n = m)

其中用到了Orthognal & Normal

即
< n|m > =0 (n = m，Orthognal正交)
< n|m > =1 (n≠m ，Normal標準化)

為什麼呢～那這要從符號的定義下啦～(< n|m >就是積分簡化)

             2
 ∫  |Ψn(x)| dτ=１


 ∫  Ψn(x)*  Ψm(x) dτ=0
===========================================================================
那今天的解說就到此節束啦～

第一章其他重點下一篇再說(dipole例外)

有問題先推文提出我下一篇再一起說明

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推 storym94374:小強老師~
→ lttlstrngth:先提出下一篇要po什麼吧...我第一章終於搞懂了...
→ lttlstrngth:忘了說明，Ψ是波函數，本身沒物理意義，但對於求其他
→ lttlstrngth:對於粒子的性質有很大的功用
推 ha531102:推~    (...這是化學在教的嗎?
→ lttlstrngth:對，第一章the quantum theory of the submicroscopic
→ lttlstrngth:world
推 venividi:好文大推
→ xup65p4:未看先推..改天一定用的到XD
推 schimtag168:小強老師好專業
→ lttlstrngth:樓上生物神手亂入XDD  要講解ket嗎？大家
→ hiro920463:應該是 Em = En* when(n = m) 吧？同時 H 必須是
→ hiro920463:Hermitian 才行，換言之這是在證明 Hermitian 算子的
→ hiro920463:eigenvalue 是實數 （En = En*）
嗯嗯...我錯了m(_ _)m...已修正。
※ 編輯: lttlstrngth     來自: 114.37.26.175        (11/27 18:34)