prerequisite:
對碎形的幾何外觀(如self-similarity等等)的初步了解
Note:
混沌系統<==>相空間上呈現出『奇異吸子』<==>在相空間圖中，奇異
吸子由代表系統狀態的點所描繪出來; 在其運動過程中，系統的點在相空
間中折疊再折疊，路徑不重複。如此一來，一個奇異吸子亦即一條碎形
曲線。由於受到奇異吸子的『折疊』與『拉長』，系統的單一的折疊動作
都代表了整個折疊過程的縮影。
直觀：若一條曲線碎形維度接近一，則必然十分平滑，且沒什麼細節。越
大於一，曲線越紊亂....想像這條曲線在此平面點集合（----二維）所掃過
的點越來越多，故這條曲線的維度應較接近二。
確定一個系統為chaotic並看出其奇異吸子後之後,如何求碎形維度？
幾個方法：
1.在二維Poincare section 求capacity dimension與correlation dimension
A.取『盒子』
B.畫圈圈
2.需要這麼多表達法嗎（並且彼此不等價）？
3.Lyapunov exponent and dimension
A.如何求Lyapunov exponent
B.特例： 二維 Lyapunov Dimesion
推廣：至更高維
C.聯想：所以，Lyapunov exponent 同時提供了兩項重要的資訊：
碎形的幾何特性，以及對初始條件的敏感程度。
--
我物理、數學的背景不足....看了之後盡量給點意見吧
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.twbbs.org)
◆ From: IP045.dialup.nt
> -------------------------------------------------------------------------- <
作者: Yves (再不用功就要被二一了) 看板: NTUNL
標題: 我的稿件（碎形維度）
時間: Sun Oct 24 10:49:01 1999
星期六未參加編輯講義的討論，所以把我寫的部分貼在這。看了之後
如果覺得有什麼地方需要修改，就盡量提出吧。
prerequisite:
對碎形的幾何外觀(如self-similarity等等)的初步了解
[A].Topological dimension and Hausdorf dimension ：
0.在碎形廣受住目前，數學家已嘗試探討更一般化的維度定義。
1.直觀地說，維數是為了確定幾何對象中一個點的位置，所需的獨立座標
的數目。歐式空間中，直接觀察可得知。把這樣的幾何對象連續地壓縮扭曲
，維數也不會改變----稱做拓樸維度（以d表示）。
2.維度和測量有密切關係，如：
a.測面積
可以用邊長為M，面積為M^2的方塊來覆蓋。所得的方塊數即為面積（
以M^2為單位）：
平面圖形面積
_____________ =有限數 = 面積
M^2
b.如果用長度M去測面積，得到無窮大; 用立體M^3色平面，結果是零。
c.所以，用N維標準體M^N測量某個幾何對象時，只有N與拓樸維度一致
時，才能得到有限的結果。若N<d，結果是無限大; 若N>d，則是零。
3.對複雜的幾何對象，不適宜用定量法測量長度; 因為，觀測結果隨
尺度大小而變異，例如，海岸線的長度取決於我們的量度單位。因此
採用定性的度量：碎形維度。直觀：若海岸線平滑，碎形維度接近一;
海岸線越是曲折蜿蜒，越可能大於一
4.現在，把一個正方形每邊長縮為原來1/3倍，3^2=9個縮小的正方形等於
原來的正方形==>(1/3)^2 * 9= 1 。若縮為1/2倍，4個縮小的正方形等於
原來的正方形==> (1/2)^2 *4= 1.....縮為S倍，K個縮小後的正方形可
填滿原正方形。這過程中觀察出不變量為『2』，故推論：一個D維幾何對象
的每個獨立方向都縮為S倍，結果K個縮小的對象可填滿原來的對象。
就本例而言，2 = ln 4/ ln(2) =ln9/ ln3 。事實上, Hausdorf
dimension 正是如此定義的：D = lnk / ln(1/s) <==> s^D = 1/k
。可想而知，D不一定成為整數了。
5.對於不規整的幾何對象(如Sierpinsky carpet, Cantor set...etc)
，S 越小，測量越精確（海岸線的總長度與測量單位有關）。K與S有關
，於是上述hausdorf dimension定義中的K換為K(S)，並且要看極限是否
存在。這種定義方法，稱為capacity dimension：
ln K(s)
dc=lim ________
S->0 ln 1/S
在多數時候，可以忽略其與Hausdorf dimension的細緻差別。
6.Mandelbrot: fractals <==> 幾何對象 D>d
[B].混沌系統與碎形的關連
耗散性使混沌系統之運動軌跡不會跑到千里之外。另一方面，對初始
條件之敏感，意味著混沌系統『差之毫釐，失之千里』。這兩種傾向
（皆是混沌系統的必要條件）看似對立。因此，調和的解釋便是：在縮小的
相體積裡，運動軌跡無窮盡底扭曲、折疊和拉長。這些描述都符合碎形的
基本特性：在有限的『體積』中幾何對象不斷自我複製。事實上混沌系統的
相空間會「縮』成碎形; 或是說，掉到奇異吸子中。而碎形維度是研究碎形的
必要資訊。
[C]. 確定一個系統為chaotic並看出其奇異吸子後之後,如何求碎形維度？
幾個方法：
1.在二維Poincare section
根據一開始提及的維度定義，取邊長為S的方格覆蓋碎形。碎形內部
有寫地方是空洞，有些方格是空的。數數有多少方格不是空的，記為
K（S）。S越小，K越大。接著在雙對數座標上畫出ln K(S)對ln S 的
曲線，切線斜率就是碎形維度D。
但畫方格法只有在相空間維度不高，碎形維度小於二維或在二維附近
，才是可行的。維數增高後，計算量迅速上升，以致很難得到收斂的結果
。另，方格內不管是包含一個點或很多點，都在K(S)中佔有一席，反應的
程度相同; 若要反應碎形內部的性質，這種方法不夠細緻。
2.在多數情況下，無法確切知道相空間維數有多高。例如流體中每個點
都有自己的速度和座標，無窮多個連續的點構成流體，因此它的相空間是
無窮維。但另一方面，複雜的系統之運動狀態可能只是由一組為數不多的
變數所決定; 如此，這些變量在高維相空間中只組成較低維的幾何對象，
有時甚至是碎形。例如混沌吸子。可以將這個低維之幾何對象投影到更
低維的平面或直線來觀測。或是，在不知道背景相空間維度的情況下，
從少數的數據數列，取出關於維度的訊息。例如，Xi是第i秒測得之
橫座標值。由於不知道實際的相空間維度有多高，因此先用這些數據支起
一個m維空間。考慮實驗中測得的一組數列x1, x2....Xi....
令X1, x2....x10 為十維空間的一個向量y1，然後， 把x2, x3...x11
作為十維空間的第二個向量y2。如此構造出一大批向量y1, y2.....yk。
現在隨便給訂一個數R，然後檢查有多少點對(yi, yj)間的距離小於R
。把距離小於R的點對在一切點對中所佔的比例記做 C(R)。如果R取太
大，當然一切點對的距離都不會超過它，因此C(R)＝1，取對數後
ln C(R) =0 。這樣的取法當然反應不了系統的內部性質。適當縮小
R，可能在一段區間內有C(R)= R^γ 。再觀察前述的維度定義
1/K = s^D ，可『猜想』 γ亦是一種維度。在此給出此種維度（稱為
correlation dimension, γ≡ dg）的可操作的逼近法：
1 N
C(R)= lim 〔 _____ Σ H(R- ▕ xi -xj▕ ) 〕
N->∞ N^2 i, j
C(R)～ R^dg as R-->0
H(y) is the Heaviside function(1 if y≧0 and 0 if y≦0)
3.a. A general definition of dimensions order q:
n
1 ln Σ pi^q
d(q) = _____ lim _____________
q-1 ε-->0 ln ε
n: the number of phase space elements
pi : the probability that an attractor point falls in the
i-th elements
b.推論：若碎形圖形裡的點分佈均勻，d(q)≡d(0), 因為對所有i
, pi = 1/n 。
c.In general , d(q)≧d(q') where q≦q'
d.q=0時，d(q)與dc等價; q=2時，d(q)與dg等價
[D].碎形維度與系統的動態變異
1.Lyapunov exponent 一方面可顯示系統之耗散性及對初始條件的敏感，
另一方面可模仿capacity dimension的觀念，定義Lyapunov dimension,
which correlates well with values of capacity dimension and
correlation dimension .
2.在二維相空間中，模仿capacity dimension的概念，定義Lyapunov
exponent(denoted as "dL" ):
d( ln (N(ε) )
dL= lim 〔 ________________ 〕
ε-->0 d( ln (1/ε) )
N(ε) 是邊長為ε，覆蓋『相面積』A(t)的小方格。
A(t)= A0 * e^(λ1+λ2)t, λ1、 λ2為Lyapunov exponent,
不妨讓λ2 < 0
A(t) A0 * e^(λ1+λ2)t
N(ε) 和ε都和t有關。N(t)= __________ = _________________
方格面積(t) A0* e^ 2(λ2 * t)
= e^(λ1- λ2 )
而， ε(t) = (A0^1/2) * e^(λ2* t), ε^2 = 方格面積
最後，可得到dL = 1- (λ1 /λ2)
3.同樣的概念推廣至高維相空間，可得
λ1+λ2+.... +λj
dL= j + ___________________________
▕ λj+1 ▕
其中，λ1>λ2>.... >λj> λj+1
， 而 λj 為非負 Lyapunov exponent 中最小的一個。
--
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.twbbs.org)
◆ From: IP097.dialup.ntu.edu.tw