Q.01 什麼是非線性科學?
A: 我們一般常見的, 理工科學生在學校所學的, 大多數的系統是屬於 "線性系統",
然而還有許多有趣的現象, 是在這類線性系統的範圍外的, 是 "非線性系統".
線性系統的結構具有高度的規律性, 所以比較早被人研究與應用. 相對的,
非線性系統卻複雜得多, 現象變化多端, 研究的困難度較高.
以比較淺顯的說法, "線性系統" 就是那種 "一分耕耘, 一分收穫", "種瓜得瓜,
種豆得豆" 的系統, 然而 "非線性系統" 往往會有 "白吃的午餐", 或是 "賠了
夫人又折兵" 的狀況, 這就是 "非線性系統" 豐富的地方
我們常常聽到的 "混沌", "蝴蝶效應", "碎形", "複雜", "紊流", 甚至是
"類神經網路" 都是非線性系統的重要領域與課題
Q.02 什麼是線性?
A: 對於各種不同的系統, 若輸入給系統一個影響因素, 就會產生一個反應的結果.
若各種不同的因果關係間, 能以 "線性組合" 的方式來互相連接, 則這樣的
系統我們就稱之為 "線性系統".
以較為數學的說法, 對一個線性的系統 L, 我們輸入 x, 則可得出 L(x)
若輸入 ax + by, 則得到的結果 L(ax + by) 恰等於 aL(x) + bL(y)
許多有趣的現象都在線性系統的範圍: 彈簧的震盪, 單擺的小幅度擺動,
鼓膜上的波動, 量子力學的物質波, 結構體的微幅震動等等
Q.03 什麼是碎形?
A: 碎形最重要的特徵就是, 如果將這種圖形的細節放大, 往往會發現
這細節部分的形狀跟原本的圖形形狀相似. 碎形跟傳統的幾何形狀
最大的不同在於, 碎形的形狀相當破碎紛亂, 甚至無法以傳統的維度
觀念去說他是 "一維的線條圖形", "二維的平面圖形" 或是 "三維的
立體圖形". 對於這類圖形我們必須以 "非整數維度的幾何圖形" 來考慮.
非整數的維度定義有各種不同的方式, 但這些定義法則對於 "正常"
的一般整數維度的幾何圖形也是適用的.
製造碎形的方法實際上相當多種, 除了使用非線性系統來產生以外,
也可以使用隨機過程的處理來造成.
Q.04 什麼是混沌?
A: 我們常常提到混沌系統的重要特徵, 就是 "天有不測風雲" --- 這並不意味
混沌系統存在有 "隨機現象", 而是當系統的開始條件只要稍有誤差, 這誤差
擴散很快就會把系統搞亂, 讓我們無法去預測系統未來的發展. 我們常說的
"蝴蝶效應" --- '恆春的蝴蝶揮舞翅膀, 將可能造成金山下大雷雨' 就是一種
混沌效應, 這是因為天氣的變化屬於混沌系統.
混沌系統還有一個重要條件, 那就是系統變化的範圍只能限定在一定的範圍內
雖然從直觀上這似乎限制了混亂的幅度, 但有趣的是, 這條件才是讓前面所說的
誤差擴散真正讓系統搞亂的關鍵. 打個比方, 土撥鼠鑽得快雖然難抓, 但是讓
土撥鼠那麼難抓的關鍵, 在於他總是在某個區域的一堆洞穴間鑽來鑽去,
不曉得下一次又會從哪裡冒出來; 若土撥鼠老是往某個方向拼命鑽, 反而還比較
容易抓到. 有許多線性系統也有誤差擴散的效應, 但是這類系統總是往外
一直發散, 反而誤差對於整體所帶來的影響力就不大了.
Q.05 什麼是奇異吸子?
A: 許多常見的動態系統, 當系統狀態隨著時間演化, 往往就會進入某些特定的狀態,
不再往外跑, 則我們稱這些狀態是這個系統的 "吸子"
傳統常見的吸子, 多半都出現在某些系統狀態的 "點", 或是在一群系統狀態
所構成的 "環" 上循環, 我們稱這些點或是環為 "固定點", "極限環".
然而對於混沌系統而言, 雖然他變化的範圍在某個固定的範圍內, 然而演變
的路徑或過程卻不是跑進一個點, 或是留在某個環上; 實際上, 混沌系統
變化的路徑會逐漸靠近某個特定的碎形, 這一種 "吸子" 和傳統常見的吸子
大不相同, 我們稱之為 "奇異吸子".
"奇異吸子" 是連接 "混沌" 與 "碎形" 之間一個重要的橋樑.
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在細雨的午後 書頁裡悉哩哩地傳來 " 週期3 = ? "
然而我知道 當我正在日耳曼深處的黑森林
繼續發掘海森堡未曾做過的夢時 康德的諾言早已遠離.........
遠來的傳教士靜靜地看著山澗不斷反覆疊代自己的 過去 現在 和 未來
於是僅以 一顆量子渾沌
一本符號動力學 祝那發生在週一下午的新生
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