修課年份 94-1
Ω 推薦指數
★★★★★ 原本四顆星, 但老師實在太帥, 多加一顆.
η 上課用書
E. M. Stein, R. Shakarchi, 1931-,
Complex Analysis (Princeton lectures in analysisII),
Princeton, N.J.: Princeton University Press, 2003
δ 課程內容
1. Preliminaries.
這一部分我稱為 "從實數走向複數".
基於代數需求, 數系自實數系擴張成了複數系. 接著好奇的數學家便有如發
現新玩具一般, 把過往施加於實數上的定義, 公式等等, 孩子氣地往複數上套用.
基本運算如加法, 乘法; 函數自實函數擴張成複函數; 點集映射的性質如連續性,
可微分性... 等等.
2. Cauchy's Theorem.
Cauchy's Integral Formula.
由於定義在複數集上的特殊運算, 使得實函數與複函數產生了根本的不同,
即複變數函數在封閉曲線上滿足在包含曲線內部的開集內可微, 則線積分為零.
推導的過程自基本的 Goursat's Theorem 的三角形線積分 (或者長方形的線積
分) 一路拐歪末角的推導至適用於任意封閉曲線上, 即 Cauchy's Theorem.
由此定理引出了 Cauchy's Integral Formula, 這個定理帶給數學家很多啟
發, 即許多實函數的性質可能會以不同的形式在複函數上出現. 如平均值定理,
在複函數上便是 "某點的值受到周圍封閉曲線上的積分值所控制" .
Cauchy's Integral Formula 的貢獻還包括計算詭異的實函數瑕積分, 在此
不一具體詳述.
3. Meromorphic Functions.
Maximum Modulus Principle.
Meromorphic 函數為在定義域內存在部份奇異點的可微函數. 因此除了部份
奇異點外, 函數的行為是良好的. 此章研究關於奇異點附近函數的行為, 並更進
一步將 Taylor's Expansion 推廣成 Lawrent's Expansion. 自 Lawrent's
Expansion 返回去觀看函數的線積分, 發現即使函數定義域內有奇異點, 但周圍
的積分值還是可以計算的, 此即 Residue's Formula. 廣義版本的 Cauchy's
Integral Formula.
μ 上課方式
老師上課方式主要有幾點特色, 如果沒有時間觀看的話可以跳過 1. 2. 項.
1. 遲到方式: a. 天上掉下來的會議.
b. 與計程車司機聊天.
c. 天氣太好了.
d. 不及備載.....
2. 複變與人生:
a. 為什麼我們要討論複變函數?
即使在二維實數集上仍可定義相同運算, 但數學家們還是喜歡將實虛部
看成一個整體. 比如水餃與醬油, 若分開吃便失去了味道.
b. 怎麼樣才是好的函數?
你要看一個人是不是好人, 就要把他丟到災難中, 考驗他, 這樣他的本
性才會顯露出來. 一個貨真價實的複變數函數應該具有什麼特性呢? 就
好像吃飯的時候不會想著腸胃有沒有在蠕動; 投球的時候不能一直盯著
手的角度. 一個高難度動作的完成, 是必須一氣呵成而少有細部的分解.
一個好的純正的複變數函數, 若要以高難度的動作考驗它, 這動作便是
"微分".
c. 函數值的極限與鄰域 (neighborhood) 的關係
有時候你要看到真相, 你要問他的鄰居, 而不是他本人. 這就是極限好
用的地方.
d. 群架理論 (以下原文包含太多數學名詞, 因此修改了一下.)
條件 A 蘊含 B. B 打輸 A 了, 就叫整個鄰居去打人家, 於是整個鄰域
上滿足條件 B 則蘊涵 A. A 也不甘示弱, 也把他的鄰居全都叫出來.
我們知道打群架都是兩敗俱傷的, 所以結論是在鄰域上滿足這兩個條件
等價.
e. 難以言盡
有的時候說不清楚的東西, 就直接當作定義比較方便. 我覺得小學生真
的很難敎, 要解釋一些東西是非常的困難, 所以我很佩服那些小學的老
師. 有一次我去看他們上課, 老師就跟學生講說, "這個要用到乘法喔"
結果那個小學生就回答說 "誰不知道乘法?"
我們的建構式教學喔, 這個, 唉....
f. simple curve
你看看, 這個心都已經糾結在一起了, 怎麼還會是 simple？
交女朋友也可以用打擊率來算, 最好的也只有三成七啊. 所以遇到挫折
根本不算什麼. 有的時候我在想, 為什麼書唸的比較好的人怎麼到最後
都會..... 就像我們數學系教授去演講, 你那個車馬費根本就是人家的
零頭. 我在這裡跟各位講, 不要立志當教授.....
g. 三千大千複數世界
(i) holomorphic 函數有多好? 你買了一次微分, 他就送你無窮多次微
分. 就好像你去漢堡王買一個漢堡, 下次去他就再送你一個漢堡,
下下次去..... 可惜這是複數的世界才有可能發生的.
(ii) 世界上有很多很可怕的東西, 例如說像是病毒.. 可是holomorphic
函數更可怕. 從某某定理, 你只要有一小片holomorphic 函數, 你
就可以知道他在所有地方的樣子. 我不知道大家有沒有看過一部片
子, 他把外星人的碎片放在那裡培養, 然後就會長出原本的怪物..
(iii) essential point 就是把你不知道的奇異點都歸類在一起. 這裡有
一個關於這類奇異點的定理, 就是不論你取這一點附近再小的鄰域,
它透過在周圍可微的函數映射的值域都會在複數平面上 dense. 你
說這可不可怕? 就好比說我一個動物園裡面有很多隻動物, 就是你
隨便找一個範圍, 他都有很多種動物在裡面. 你說好, 我就砍掉你
一半的預算, 結果你砍掉之後隨便取的範圍裡面還是有很多動物,
再砍一半的預算, 結果裡面還是有很多的動物..... 結論是這個動
物園太有錢了.
所以有人說 "你可以從恆河的一粒沙看到全世界" , 這在複數的世
界裡是很驚人的事實.
3.
回歸正題, 仔細一點的人其實可以發現老師並沒有帶課本上課. 上課授課
的內容大致上照著課本的主軸, 但其中詳細的定理證明則是綜合了許多手法,
提供一個較為 "平易近人的角度" . (或許也可以說是這本課本有點難度)
數學系老師上課風格各自迥異, 陳俊全老師在這學期的複變課程中所介紹
的許多證明都將各種直觀拆解成各個細節與步驟慢慢詳述, 所以也沒有用到太
多高等微積分的內容 (主要是老師說看到有大一學生來修課, 但其實他可能不
太清楚這些大一的學生高微念的比有些大三的同學還好吧 XD).
我覺得這樣的方式優點在於底下的學生不會來不及抄寫黑板的筆記. 其他
如敝系的強者林紹雄老師, 當他在黑板上振筆疾書時, 大多數人還在黑板的另
一端遙遙相望... 當然, 除了筆記之外, 最主要應該是能讓學生在課堂上有些
理解的時間. (當然也有體會人生大道理的時間.....)
另一方面, 這樣的上課方式缺點就是廢。話。太。多。了。。。。。。。,
也因此整個學期的授課內容沒有再另外介紹一些東西.
σ 評分方式
作業 20%
期中期末各佔 40%
ρ 考題型式、作業方式
1. 考試題型: 計算題 (定理, 公式之應用)
證明題 (分析並證明)
敘述並證明課本定理 (認知與理解)
2. 作業: 課本上的習題.
不曉得是不是因為這次的課本是 Princeton 的教材, 裡頭的習題難度極高,
(還有分 Exercise 跟 Problem) 某一次作業有十三題, 其中有九題花了我
十多個小時去寫, 甚至有助教都覺得相當棘手的題目出現.
ω 其它
我愛數學系高等微積分.
Ψ 總結
希望我的複變 (與人生) 總結的 "不當" 啊....
--
擁懷天地的人，有簡單的寂寞。
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 220.137.102.204