作者Lindemann (做一個有質感的好人)
看板Physics
標題Fw: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間Tue May 27 01:30:53 2014
※ [本文轉錄自 Math 看板 #1JWtZdCl ]
作者: Chatterly (chatterly) 看板: Math
標題: Re: [分析] Zeta函數和Gamma函數的一些小知識
時間: Tue May 27 01:24:53 2014
※ 引述《Hyuui (修)》之銘言：
: Chatterly在八卦板提到一些關於複變函數論的結果，但他說的東西有些錯誤。為了避免他
: 誤導別人，我想拉回來Math板上解說一下，順便補充一些我覺得有趣的東西。
: ──
: #1JTsjw0U (Gossiping)
: http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1400335226.A.01E.html
: //Gamma解析延拓出去整個到複數平面,所有整數點包括 1 都是奇點//
: #1JWWbT8- (Gossiping)
: http://www.ptt.cc/bbs/Gossiping/M.1401031005.A.23E.html
: //解析延拓是每一個整數點都不可解析而不是你說的z=1//
: ──
: 解說如下：
: 1.
: 對於實部大於1的複數s，我們定義Zeta函數如下：
: Zeta {s} = Sum_n=1~∞ {1/n^s}
: Zeta函數的原始定義域是{s | Re(s) > 1}。經過解析延拓(analytic continuation)，可
: 以拓展為在 {s | s ≠ 1} 的複數平面上的解析函數。
: 而在 s=1 該點上，即為著名的調和級數。
: Zeta {1} = 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...
: 我之前在某篇文章中提過，17世紀的Pietro Mengoli就證明出調和級數發散。不過我後來
: 看到另一篇蔡聰明教授的文章，他說：「在1350年左右，N. Oresme（約1323～1382）證
: 明了調和級數發散， 這是歷史上第一個發散級數的例子。」
: 這個證明的思路相當簡單，有些讀者在高中時可能就已經學過了。
: 1 + 1/2 +1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 + ...
: 1/2 + 1/2 + (1/4 + 1/4) + (1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8) + ...
: 第二個級數的每個括號內的值都等於1/2，無窮多個1/2加起來顯然發散。注意到第一個級
: 數的每項都大於第二個級數，故第一個級數發散。
所以你想表達什麼? 這個高中數學我高中同學沒有人不知道的
你根本不懂解析延拓不做 s=1的情況以至於你都在亂說
: 因此，Zeta函數在 s=1 是無法解析延拓的。
不要亂說好嗎? 不是這個原因,是你不懂還一直亂說
: 解析延拓的Zeta函數在s等於負整數的值，有一個方便的公式可以計算：
: Zeta {-n} = -B_(n+1) / (n+1)
: 其中 B_(n+1) 為Bernoulli number。
: 由於 B_n 在 {n | n為奇數，且n>1} 的值都是0，故 Zeta {-2n} = 0
拜託不要寫一些無聊的google就可以知道的東西,你顯然就是不會啊
為什麼死不認錯???
: ──
: 2.
: 對於實部大於0的複數s，我們定義Gamma函數如下：
: Gamma {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t} dt
: Gamma函數在s等於正整數的值非常容易計算，因為有以下公式：
: Gamma {n} = (n-1)!
: Gamma函數的原始定義域是{s | Re(s) > 0}。經過解析延拓(analytic continuation)，
: 可以拓展為在 {s | s ≠ 0 or 負整數} 的複數平面上的解析函數。
: 在 {s | s = 0 or 負整數} 這些點上，Gamma函數是發散的，但我們可以使用留數定理計
: 算留數。
: Res {Gamma, -n} = (-1)^n / n!
不要寫物理專業人士人覺得小學生的Gamma函數的性質好嗎? 你很無聊耶
: ──
: 3.
: 關於使用解析延拓的Zeta函數求出「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」，可參考這篇文章。
: 1+2+3+…=-1/12? | 法蘭克的數學世界
: http://frankliou.wordpress.com/2014/05/18/123-112/
不要扯跟你無關的,我已經叫他跟你節制點,拜託你不要亂說好嗎
正確的做法大致上都已經給你了,就是要你把中間過程都推出來或是你最愛的打臉
就像當初看你可憐給你我寫水星進動結果,只是二處小小的打字錯誤你竟然看不懂,
還說我的是錯的幹嘛給你看,你學長叫我好好照顧你我已經自認為做到訓練你廣相的責任
沒想到你程度如此不堪,我老闆看到我的水星進動結果超讚嘆的,
而你呢? 竟然看不懂還罵我,這個的解法都已經你說如下了,不要再亂說其他無關好嗎?
趕快debug跟打我臉
------
這是統計力學一個非常基本的數學式子
s-1
∞ x
Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dx
0 x
e -1
現在做複變解析延拓
中間計算懶得打了,反正去問一個他曾經做過弦論的或是專做複變的教授應該都會
很容易可以證明得到
在 x=0會爆掉,所以我們必須動一些"手術",然後經過整理
s-1 1 - s-1
∞ z 1 z 1 1 1
Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dz = ∫ dz (---------)+ ---- - ----+------
0 z 0 z
e -1 e -1 s-1 2s 12(s+1)
s-1
∞ z
+∫ ------- dz
+ z
1 e -1
這時候稍微有點複變常識的人會知道,只有二個resides必須做,s=0和s=-1
我們會發現上面的函數可以做計算
1 1
-------- = (-1) ξ(-1) 所以 1+2+3+... = - -----
12 12
-1 1
------- = 1 ξ(0) 所以 1+1+1+....= - ----
2 2
所以 黃先生,你不要一直亂造謠說我搞不懂Gamma和Zeta函數好嗎? 正如你對那些人
的攻擊和造謠,拿出一點點點 專業知識 來說嘴好嗎? 你永遠只會扯z=1調和級數發散
我上面已經證明比調和級數更不出初等的解析延拓結果了,請問你呢? 你在那裏?
這不是初等函數的東西,所以不要拿調和級數那種高中生都知道的來嚇人
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: 不過嚴格說起來，解析延拓後的Zeta函數，在額外拓展的定義域上已經不是原本的
: 「Sum_n=1~∞ {1/n^s}」形式了，所以其實也沒有「Zeta {-1} = 1 + 2 + 3 + ...」這回
: 事。我建議把「1 + 2 + 3 + ... = -1/12」當作物理學家們的一個有趣把戲就好，它並不
: 是嚴謹的數學結果。
可見你都在亂說,程度有夠不堪耶,程度不堪就算了,還說這是物理學家的把戲
我是看數學寫的論文啦,不想告訴你誰寫的啦,你可以繼續在亂說
: 至於「1 + 1 + 1 + ... = -1/2」，不嚴謹地說，則是解析延拓的 Zeta {0} 的值，它在
: 弦論中有些應用。但請注意，不要把Zeta函數和Gamma函數搞混了。雖然我們知道，Zeta函
: 數和Gamma函數相乘起來有個很漂亮的關係。
可見你都在亂說,程度有夠不堪耶,程度不堪就算了,還說這是物理學家的把戲
陶哲軒早就寫一堆有的沒的發散級數,你不要鬼扯好嗎?要不是給你
s-1
∞ x
Γ(s)ξ(s)= ∫ ------- dx
0 x
e -1
你還在亂說我不懂Zeta函數和Gamma函數,你有夠不要臉的耶,老子都做了解析延拓給你
看了,你還在誤導數學版鄉民
: Gamma {s} * Zeta {s} = Int_0~∞ {t^(s-1) / e^t-1} dt
: 這個關係成立在Zeta函數和Gamma函數原始定義域的交集 {s | Re(s) > 1} 上。
: 而且這個特殊關係無法改變以下事實：
: 1. Zeta函數在 {s | s ≠ 1} 發散。
: 2. Gamma函數在 {s | s = 0 or 負整數} 發散。
: 在整個複數平面上，我們比較常使用的是Riemann functional equation。
: Zeta {s} = 2^s * π^{s-1} * sin {πs/2} * Gamma {1-s} * Zeta {1-s}
: 我們可以由sin {πs/2}這項再次看出：Zeta {-2n} = 0
: ──
: 以上是一些關於Zeta函數和Gamma函數的小說明，希望大家能弄清楚這些概念。
哀,不要拜託亂說就以為你可以逃得掉好嗎? 去考個研究所乖乖唸書好嗎?
連個研究所都考不上要做什麼基本力跟量子場論和廣相,結果水星進動看不懂還要被你罵
然後連個量子力學互易關係都不懂也可以寫冷笑話,你可以繼續在物理版討拍
你有夠會硬凹的,程度超不堪就好好念書好嗎?
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc), 來自: 140.113.121.246
※ 文章網址: http://www.ptt.cc/bbs/Math/M.1401125095.A.32F.html
→ Hyuui :你先搞清楚Zeta函數和Gamma函數的奇點吧。 05/27 01:27
你就只會這樣的跳,趕快打我臉或是補充中間過程啦
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
※ 轉錄者: Lindemann (140.113.121.246), 05/27/2014 01:30:53
→ Lindemann:物理人會這個的幫我評評理呀,真的被Hyuui搞得非常不爽 05/27 01:31
→ Lindemann:口氣重了一點希望大家不介意,我只是很怒程度麼差還一直 05/27 01:32
→ Lindemann:嗆我Gamma跟Zeta的差別,還有我真想打他物理版文章的臉 05/27 01:32
→ Lindemann:真的是完全沒有程度也想來撈個paper,真是笑死人的作法 05/27 01:33
→ wohtp:我的弦論是Liam McAllister教的。一開始講lightcone 05/27 01:47
→ wohtp:quantization的時候，他只是argue說量子的東西比較基礎，可 05/27 01:49
→ wohtp:是我們是從古典action反推回去，所以不知道原來算符的次序 05/27 01:51
→ wohtp:應該怎麼寫，所以最後會多出一個常數 05/27 01:51
→ wohtp:然後他叫我們先相信這個常數是-1/12。 05/27 01:52
→ wohtp:當然有學生看過zeta function regularization的就在課堂上當 05/27 01:52
→ wohtp:場問是不是這個原因。 05/27 01:53
→ wohtp:他當時的回答：當然你可以這麼「證明」，但是他覺得這整個 05/27 01:53
→ wohtp:技巧不怎麼誠實，所以他寧可不講 05/27 01:54
→ wohtp:然後下一個單元就是很誠實的用CFT把常數算出來 05/27 01:55
→ Lindemann:wohtp大您好,我知道這個其實物理人必須先學會這個常數 05/27 01:55
→ Lindemann:這個其實有機會我把工作都搞定了,我寫我的作法給您看吧 05/27 01:56
→ Lindemann:這個其實陶哲軒有在他的blog講一大堆會發散級數的東西 05/27 01:58
→ wohtp:我也不喜歡這些analytic continuation，但是我的牌子沒有 05/27 01:58
→ wohtp:Liam那麼大... XD 05/27 01:58
陶哲軒大師 他有列舉這一些結果,這證明了這是數學家認證過的東西XD
http://ppt.cc/InuX
※ 編輯: Lindemann (140.113.121.246), 05/27/2014 02:00:32
→ Lindemann:事實上解析延拓李政道的統計力學也說過他必須用這個數學 05/27 02:02
→ Lindemann:去處理一些凝聚的東西,也就是解析延拓本來就是數學和物 05/27 02:02
→ Lindemann:理學家都應該承認的一種數學,當然regularization是比較 05/27 02:03
→ Lindemann:賴皮一點的我承認XD 05/27 02:04
→ wohtp:我稍微掃過了你貼的連結。裡面講的數學當然都沒有問題，但是 05/27 02:12
→ wohtp:數學這東西你也知道，每一個定理都建立在多如牛毛的條件上 05/27 02:13
→ wohtp:數學上：加了cutoff η再取極限，得回的是原來的級數嗎？ 05/27 02:15
→ Lindemann:w大您好,我承認這些東西我也只是當初念弦論然後我想搞懂 05/27 02:15
→ wohtp:物理上：做QFT的時候我們用cutoff用得很高興，那是因為我們 05/27 02:15
→ wohtp:相信真的有個UV cutoff 05/27 02:15
→ Lindemann:這些東西,我努力去學,不過您的數學真的比Hyuui好太多了 05/27 02:16
→ wohtp:弦論可沒有這種東西 05/27 02:16
→ Lindemann:我在Srednicki的QFT就念過UV cutoff,這個真的是蠻有趣的 05/27 02:16
→ Lindemann:我再問我老闆看看XD,畢竟我在交大已經直接做AdS/CFT了 05/27 02:17
→ Lindemann:基本上號稱QFT,QCD目前的難題據說都可以用AdS/CFT來解決 05/27 02:18
→ Lindemann:但是我是有點純疑的,畢竟這些數學都是一直高來高去的 05/27 02:19
推 HDT:轉錄可以 不過請把一些較為情緒性字眼及較為不恰當的部分修飾 05/27 02:20
→ HDT:及刪除 05/27 02:20
→ Lindemann:當我不能對我的數學有所掌握8-90%,又沒真實物理狀況下 05/27 02:20
→ Lindemann:ok,抱歉剛剛太生氣了>< 05/27 02:20
→ Lindemann:我是不太能理解我在做什麼,其實QFT中間已經算是非常抽象 05/27 02:21
※ 編輯: Lindemann (140.113.121.246), 05/27/2014 02:26:50
→ HDT:包含下面那篇文章也是 我不知道你和Hyuui有啥私人恩怨 05/27 02:21
→ HDT:不過在物理版請盡量用學術來打臉 但千萬不可用人身攻擊或謾罵 05/27 02:22
推 HDT:謝謝合作 05/27 02:22
→ Lindemann:謝謝您,抱歉,如果有覺得還是太激動要改的在私信中跟我說 05/27 02:30
→ Hyuui:我也不知道我跟他有啥私人恩怨，只是指出他的數學錯誤罷了。 05/27 02:56
→ Lindemann:好棒喔,在臉書跟八卦版一直搬弄是非和造謠現在在這討拍? 05/27 03:34
→ Lindemann:你不要不懂裝懂好嗎?什麼s=1不可解析,後面跑出Res公式 05/27 03:35
→ Lindemann:全抄襲wiki然後露餡還裝寫數學教學文胡說八道很好嗎??? 05/27 03:36
→ Lindemann:Hyuui:我也不知道我跟他有啥私人恩怨. 好無辜喔,你在臉 05/27 03:37
→ Lindemann:書和八卦版怎麼對付人的,怎麼到了物理高手群集的物理版 05/27 03:37
→ Lindemann:變成了你不知道跟我有什麼私人恩怨,我好友xgcj都看不下 05/27 03:38
→ Lindemann:了跑來跟我說,黃先生你也太過分了吧,當時我在認真做研究 05/27 03:39
→ Lindemann:你什麼猙獰的面孔還有一大堆小動怎麼不在物理版現出來? 05/27 03:39
噓 Hyuui:請分清楚Zeta函數和Gamma函數，尤其是解析延拓的範圍不同。 05/27 03:39
→ Lindemann:不要不懂裝懂好嗎?然後死要跟別人爭輸贏一定要贏到用不 05/27 03:40
→ Lindemann:澤手段到贏為止,反正你一定會被我們採取法律行動的 05/27 03:41
→ Lindemann:你什麼猙獰的面孔還有一大堆小動怎麼不在物理版現出來?? 05/27 03:41
→ Lindemann:你臉書跟八卦版的手段怎麼不敢在這裡顯現出來?還有專業? 05/27 03:42
→ Lindemann:拜託你用專業打我臉好嗎?我已經數學版說你露餡的部分了 05/27 03:42
→ Lindemann:H請不要再一直亂說好嗎?拜託先來給個詳細的數學證明啊 05/27 03:43
→ Hyuui:你那篇我已經回了，是你又搞錯Zeta函數和Gamma函數的差別。 05/27 03:44
→ Lindemann:H請不要再一直亂說好嗎?拜託先來給個詳細的數學證明啊?? 05/27 03:55
→ Hyuui:你不要在Math板被我電過，就跑來這邊再回一次啦，很麻煩。 05/27 03:58
→ Lindemann:我什麼時候被你電過,我都po出我的大致計算過程了,你呢? 05/27 04:07
→ Lindemann:我要讓鄉民認識你這個人啦,對你人格和學識唾棄 05/27 04:07
→ Hyuui:最近的一次就在幾小時前，請參考Math板的文章。 05/27 04:08
→ Hyuui:之前在FB上那兩次，我就懶得提了。 05/27 04:08