固定一色, 空位是 (2,2,2) 或 (2,1,3) 或 (1,1,4), 算 9 珠三色環列舉空位
排法再做排列組合會更簡化.
空位為:
(2,2,2) 2 種 AXXAXXAXX
(1,2,3) 4 種 AXAXXAXXX
(1,1,4) 2 種 AXAXAXXXX
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abacbc 如果是排成環, 還是會變成 acbcab , 因為原題是三色環, 相
鄰不同色. 對環的解法之一是先訂住一個色球, 想像先拆成一排, 又因
為三色數量各為 n = 1/3 總數, 把三個位置排一組就可以簡化數量限
制問題.
先訂三色為 ABC , 假設固定從 A 球拆成直排
n = 1
ABC , ACB 只有 2 種 (這要看平面環的方向是否視為相同 ? 如果相同
就只有 1 種)
n = 2
固定 第一位置為 A
(1*2*1) * (2*2*1) = 8
但最後一位為 A 的應排除
(1*2*1) * ( 2*2*1 -1)
但 ABC-ACB 如果是環, 跟 ACB-ABC 是相同的
故 2*3 -1 = 5
如果再把 ABCABC 跟 ACBACB 視為相同, 就只有 4 種.
n=3
三個一組拆分, 每組就只有 6 種
1 = ABC
2 = ACB
3 = BAC
4 = BCA
5 = CAB
6 = CBA
固定第一位置為 A , 第一組有 2 種 , 第二組依第一組的尾位顏色而定
只有
1-{1,2,3,4}
2-{1,2,5,6}
共 (1*2*1)*(2*2*1) = 8 種
第三組受限其首尾的顏色, 最後一個不能是 A, 也就是 4,6 被排除
1-1-{1,2,3}
1-2-{1,2,5}
1-3-{1,2,3}
1-4-{3,5}
2-1-{1,2,3}
2-2-{1,2,5}
2-5-{1,2,5}
2-6-{3,5}
共 (1*2*1)*[(2*2*1)*(2*2*1-1) - 1) = 22 種
再排除 (1-2-1 , 1-1-2, 2-1-1)
(1-3-1 , 1-1-3)
(122, 221, 212)
(125, 251)
(132, 213)
(225, 252)
循環相同這類的, 可扣除 8 種
22 - 7 = 14 種
其中 (111=ABCABCABC , 222=ACBACBACB) 方向相反
(112=ABCABCACB , 221=ACBACBABC)
(113=ABCABCBAC , 133=ABCBACBAC)
(225=ACBACBCAB , 255=ACBCABCAB)
(145=ABCBCACAB , 263=ACBCBABAC)
(143=ABCBCABAC , 265=ACBCBACAB)
14 - 6 = 8
111, 121
131, 132, 125, 225
143, 145
這是窮舉, 不如空位的方法 !
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